Номер 8, страница 259 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

8. Найдите сумму целых решений неравенства

$2\log_{0,5} (x - 2) - \log_{0,5} (x^2 - x - 2)\ge 1.$

а) 10;

б) 15;

в) 7;

г) 12;

д) 14.

Для решения данного логарифмического неравенства необходимо выполнить несколько шагов: найти область допустимых значений (ОДЗ), преобразовать неравенство с использованием свойств логарифмов, решить полученное рациональное неравенство и, наконец, найти сумму целых решений, удовлетворяющих ОДЗ.

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)

Аргументы логарифмических функций должны быть строго больше нуля. Поэтому запишем систему неравенств:

$$ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ x^2 - x - 2 > 0 \end{cases}$$

Решим первое неравенство:

$x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$

Решим второе неравенство $x^2 - x - 2 > 0$. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Поскольку ветви параболы $y = x^2 - x - 2$ направлены вверх, неравенство $x^2 - x - 2 > 0$ выполняется при $x < -1$ или $x > 2$. То есть, $x \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств системы:

$$ (2, +\infty) \cap ((-\infty, -1) \cup (2, +\infty)) $$

Областью допустимых значений является интервал $x \in (2, +\infty)$.

2. Решение неравенства

Исходное неравенство:

$$2\log_{0,5}(x - 2) - \log_{0,5}(x^2 - x - 2) \ge 1$$

Используя свойство логарифма $n\log_a b = \log_a(b^n)$, преобразуем первый член:

$$\log_{0,5}((x - 2)^2) - \log_{0,5}(x^2 - x - 2) \ge 1$$

Используя свойство $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$, объединим логарифмы:

$$\log_{0,5}\left(\frac{(x - 2)^2}{x^2 - x - 2}\right) \ge 1$$

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 0,5: $1 = \log_{0,5}(0,5)$.

$$\log_{0,5}\left(\frac{(x - 2)^2}{x^2 - x - 2}\right) \ge \log_{0,5}(0,5)$$

Поскольку основание логарифма $0,5$ находится в интервале $(0; 1)$, при переходе от логарифмического неравенства к неравенству для их аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$$\frac{(x - 2)^2}{x^2 - x - 2} \le 0,5$$

Перенесем 0,5 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$$\frac{(x-2)^2}{x^2-x-2} - \frac{1}{2} \le 0$$

$$\frac{2(x-2)^2 - (x^2-x-2)}{2(x^2-x-2)} \le 0$$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$$\frac{2(x^2-4x+4) - x^2+x+2}{2(x^2-x-2)} \le 0$$

$$\frac{2x^2-8x+8 - x^2+x+2}{2(x^2-x-2)} \le 0$$

$$\frac{x^2 - 7x + 10}{2(x^2 - x - 2)} \le 0$$

Поскольку множитель 2 в знаменателе положителен, его можно опустить, не меняя знака неравенства:

$$\frac{x^2 - 7x + 10}{x^2 - x - 2} \le 0$$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Корни числителя $x^2 - 7x + 10 = 0$ - это $x=2$ и $x=5$. Корни знаменателя $x^2 - x - 2 = 0$ - это $x=-1$ и $x=2$.

$$\frac{(x-2)(x-5)}{(x+1)(x-2)} \le 0$$

Учитывая, что $x \neq 2$ (из ОДЗ), мы можем сократить дробь на $(x-2)$:

$$\frac{x-5}{x+1} \le 0$$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x=5$. Нули знаменателя: $x=-1$. Отмечаем эти точки на числовой оси, причём $x=5$ будет закрашенной (неравенство нестрогое), а $x=-1$ - выколотой (знаменатель не может быть равен нулю). Интервалы: $(-\infty, -1)$, $(-1, 5]$, $(5, +\infty)$.

Проверяя знаки на интервалах, находим, что неравенство выполняется для $x \in (-1, 5]$.

3. Поиск окончательного решения и суммы целых корней

Теперь необходимо пересечь полученное решение $x \in (-1, 5]$ с областью допустимых значений $x \in (2, +\infty)$:

$$(-1, 5] \cap (2, +\infty) = (2, 5]$$

Целые числа, входящие в интервал $(2, 5]$, это: 3, 4, 5.

Найдем их сумму:

$$3 + 4 + 5 = 12$$

Эта сумма соответствует варианту ответа г).

Ответ: 12