Номер 7, страница 259 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

7. Найдите число целых решений неравенства $6 \le \log_3^2 x + \log_3 x$ на промежутке $[-2; 12]$.

а) 1;

б) 7;

в) 6;

г) 4;

д) 2.

Для решения неравенства $6 \le \log_3^2 x + \log_3 x$ и нахождения числа его целых решений на промежутке $[-2; 12]$, выполним следующие действия:

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).

Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x > 0$

2. Решение логарифмического неравенства.

Чтобы упростить неравенство, введем замену переменной. Пусть $t = \log_3 x$. Тогда исходное неравенство примет вид:

$6 \le t^2 + t$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$t^2 + t - 6 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $t^2 + t - 6 = 0$. Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Корни уравнения равны:

$t_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3$

$t_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2$

Поскольку парабола $y = t^2 + t - 6$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $t^2 + t - 6 \ge 0$ справедливо для значений $t$, находящихся вне интервала между корнями. Таким образом, решение для $t$ следующее:

$t \le -3$ или $t \ge 2$

3. Обратная замена.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену $t = \log_3 x$:

$\log_3 x \le -3$ или $\log_3 x \ge 2$

Решим каждое из этих неравенств. Поскольку основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, и знаки неравенств при потенцировании сохраняются.

Из первого неравенства получаем:

$x \le 3^{-3} \implies x \le \frac{1}{27}$

Из второго неравенства получаем:

$x \ge 3^2 \implies x \ge 9$

4. Учет ОДЗ и нахождение целых решений на заданном промежутке.

Объединим полученные решения с ОДЗ ($x > 0$):

$x \in (0; \frac{1}{27}] \cup [9; +\infty)$

Теперь нам нужно найти, сколько целых чисел из этого множества попадает в заданный промежуток $[-2; 12]$. Для этого найдем пересечение множества решений с промежутком $[-2; 12]$:

$((0; \frac{1}{27}] \cup [9; +\infty)) \cap [-2; 12]$

Рассмотрим пересечение для каждого интервала по отдельности:

• $(0; \frac{1}{27}] \cap [-2; 12] = (0; \frac{1}{27}]$. В этом интервале нет целых чисел.
• $[9; +\infty) \cap [-2; 12] = [9; 12]$. Целые числа, принадлежащие этому отрезку: $9, 10, 11, 12$.

Таким образом, целыми решениями неравенства на указанном промежутке являются четыре числа: 9, 10, 11 и 12.

Ответ: 4