Номер 12, страница 259 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

12. Найдите наименьшее целое решение системы неравенств

$\begin{cases} \lg^2 x + \lg 0,01x > 0, \\ \frac{1}{x} < 1000. \end{cases}$

Для решения системы неравенств, решим каждое неравенство по отдельности, а затем найдем пересечение их решений.

Исходная система неравенств:

$ \begin{cases} \lg^2 x + \lg(0,01x) > 0, \\ \frac{1}{x} < 1000. \end{cases} $

Решение первого неравенства $\lg^2 x + \lg(0,01x) > 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$ \begin{cases} x > 0, \\ 0,01x > 0, \end{cases} $ что равносильно $x > 0$.

Преобразуем неравенство, используя свойство логарифма $\lg(ab) = \lg a + \lg b$:

$\lg(0,01x) = \lg(0,01) + \lg x = \lg(10^{-2}) + \lg x = -2 + \lg x$

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$\lg^2 x + (-2 + \lg x) > 0$

$\lg^2 x + \lg x - 2 > 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Неравенство примет вид:

$t^2 + t - 2 > 0$

Это квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 + t - 2 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни:

$t_1 = -2$ и $t_2 = 1$.

Так как график функции $y=t^2 + t - 2$ — это парабола с ветвями вверх, неравенство $t^2 + t - 2 > 0$ выполняется при $t < -2$ или $t > 1$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

1) $t < -2 \implies \lg x < -2 \implies \lg x < \lg(10^{-2}) \implies \lg x < \lg(0,01)$. Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, то $x < 0,01$.

2) $t > 1 \implies \lg x > 1 \implies \lg x > \lg(10^1) \implies \lg x > \lg(10)$. Так как основание $10 > 1$, то $x > 10$.

С учетом ОДЗ ($x > 0$), решение первого неравенства: $x \in (0; 0,01) \cup (10; +\infty)$.

Решение второго неравенства $\frac{1}{x} < 1000$

Учитывая ОДЗ ($x > 0$), мы можем умножить обе части неравенства на $x$, не меняя знака неравенства:

$1 < 1000x$

Разделим обе части на 1000:

$\frac{1}{1000} < x$ или $x > 0,001$.

Решение второго неравенства: $x \in (0,001; +\infty)$.

Нахождение решения системы и наименьшего целого решения

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:

Решение 1: $x \in (0; 0,01) \cup (10; +\infty)$.

Решение 2: $x \in (0,001; +\infty)$.

Пересечением этих двух множеств является $x \in (0,001; 0,01) \cup (10; +\infty)$.

Нам необходимо найти наименьшее целое решение. Интервал $(0,001; 0,01)$ не содержит целых чисел. Наименьшее целое число в интервале $(10; +\infty)$ — это 11.

Ответ: 11