Номер 9, страница 259 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

9. Решите неравенство

$\log_{0.09} (x^2 - 12x + 36) \ge \log_{0.3} (x - 3).$

а) $(3; +\infty);$

б) $[4,5; 6) \cup (6; +\infty);$

в) $(6; +\infty);$

г) $(3; 4,5];$

д) $(-\infty; 6).$

Для решения логарифмического неравенства $log_{0,09}(x^2 - 12x + 36) \ge log_{0,3}(x - 3)$ выполним следующие шаги.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, поэтому составим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 - 12x + 36 > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство. Выражение в скобках является полным квадратом:

$x^2 - 12x + 36 = (x - 6)^2$

Неравенство $(x - 6)^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=6$.

Решим второе неравенство:

$x - 3 > 0 \implies x > 3$

Пересекая полученные условия ($x > 3$ и $x \neq 6$), находим ОДЗ: $x \in (3; 6) \cup (6; +\infty)$.

2. Преобразование неравенства

Приведем логарифмы к одному основанию. Заметим, что основание $0,09$ является квадратом основания $0,3$ ($0,09 = 0,3^2$), а выражение $x^2 - 12x + 36$ является $(x-6)^2$.

Используем формулу перехода к новому основанию в логарифме $log_{a^k}(b^m) = \frac{m}{k} log_a(b)$. В нашем случае, для левой части неравенства имеем:

$$log_{0,09}(x^2 - 12x + 36) = log_{(0,3)^2}((x-6)^2)$$

При извлечении четной степени из-под знака логарифма появляется модуль:

$$log_{(0,3)^2}((x-6)^2) = \frac{2}{2} log_{0,3}(|x-6|) = log_{0,3}(|x-6|)$$

Теперь исходное неравенство можно переписать в виде:

$$log_{0,3}(|x - 6|) \ge log_{0,3}(x - 3)$$

3. Решение преобразованного неравенства

Так как основание логарифма $0,3$ находится в интервале $(0; 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$$|x - 6| \le x - 3$$

Данное неравенство с модулем равносильно следующей системе:

$$ \begin{cases} x - 6 \le x - 3 \\ x - 6 \ge -(x - 3) \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$x - 6 \le x - 3 \implies -6 \le -3$. Это верное числовое неравенство, поэтому оно справедливо для всех $x$ из ОДЗ.

Решим второе неравенство:

$x - 6 \ge -x + 3$

$2x \ge 9$

$x \ge 4,5$

Решением системы является $x \ge 4,5$.

4. Учет ОДЗ

Теперь необходимо найти пересечение полученного решения $x \ge 4,5$ с областью допустимых значений $x \in (3; 6) \cup (6; +\infty)$.

Совмещая условия, получаем:$$ \begin{cases} x \ge 4,5 \\ x \in (3; 6) \cup (6; +\infty) \end{cases} $$

Итоговое решение: $x \in [4,5; 6) \cup (6; +\infty)$.

Этот результат соответствует варианту ответа б).

Ответ: б) $[4,5; 6) \cup (6; +\infty)$