Номер 10, страница 259 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

10. Найдите значение выражения $24a + b$, где $a$ — наибольшее отрицательное, а $b$ — наименьшее положительное решение неравенства $\log_{2} (3x + 1) \cdot \log_{0.5} (6x + 2) \le -6$.

Для начала решим логарифмическое неравенство $\log_2(3x+1) \cdot \log_{0,5}(6x+2) \le -6$.

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)

Аргументы логарифмов должны быть строго положительными: $ \begin{cases} 3x+1 > 0 \\ 6x+2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x > -1 \\ 6x > -2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -1/3 \\ x > -1/3 \end{cases} $ Таким образом, ОДЗ: $x > -1/3$.

2. Преобразование и решение неравенства

Приведем логарифмы к одному основанию 2. Используем свойство $\log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_a b$ и учтем, что $0,5=2^{-1}$. $\log_{0,5}(6x+2) = \log_{2^{-1}}(6x+2) = -1 \cdot \log_2(6x+2) = -\log_2(6x+2)$.

Подставим полученное выражение в исходное неравенство: $\log_2(3x+1) \cdot (-\log_2(6x+2)) \le -6$.

Умножим обе части на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $\log_2(3x+1) \cdot \log_2(6x+2) \ge 6$.

Заметим, что $6x+2 = 2(3x+1)$. Используем свойство логарифма произведения $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$: $\log_2(6x+2) = \log_2(2(3x+1)) = \log_2 2 + \log_2(3x+1) = 1 + \log_2(3x+1)$.

Теперь неравенство имеет вид: $\log_2(3x+1) \cdot (1 + \log_2(3x+1)) \ge 6$.

Введем замену: пусть $t = \log_2(3x+1)$. Неравенство примет вид квадратного неравенства относительно $t$: $t(1+t) \ge 6$ $t^2+t-6 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $t^2+t-6=0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим $t_1 = -3$ и $t_2 = 2$. Поскольку это парабола с ветвями вверх, решение неравенства $t^2+t-6 \ge 0$ есть объединение промежутков: $t \le -3$ или $t \ge 2$.

Выполним обратную замену:
a) $\log_2(3x+1) \le -3$. Так как основание логарифма $2>1$, то $3x+1 \le 2^{-3}$, то есть $3x+1 \le \frac{1}{8}$. $3x \le \frac{1}{8}-1 \Rightarrow 3x \le -\frac{7}{8} \Rightarrow x \le -\frac{7}{24}$.
б) $\log_2(3x+1) \ge 2$. Так как основание $2>1$, то $3x+1 \ge 2^2$, то есть $3x+1 \ge 4$. $3x \ge 3 \Rightarrow x \ge 1$.

Объединим полученные решения с ОДЗ ($x > -1/3$):
Для $x \le -7/24$, учитывая, что $-1/3 = -8/24$, получаем $-1/3 < x \le -7/24$.
Для $x \ge 1$, это решение полностью входит в ОДЗ.

Таким образом, множество решений неравенства: $x \in (-1/3, -7/24] \cup [1, +\infty)$.

3. Нахождение значений $a$ и $b$ и вычисление выражения

По условию, $a$ — наибольшее отрицательное решение. Из множества решений отрицательные значения находятся в промежутке $(-1/3, -7/24]$. Наибольшим значением в этом промежутке является $a = -7/24$.

По условию, $b$ — наименьшее положительное решение. Положительные решения находятся в промежутке $[1, +\infty)$. Наименьшим значением в этом промежутке является $b=1$.

Теперь найдем значение выражения $24a+b$: $24a+b = 24 \cdot (-\frac{7}{24}) + 1 = -7 + 1 = -6$.

Ответ: -6