Номер 1, страница 257 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Выберите неравенство, равносильное

неравенству $lg x > 0$:

1) $x^2 > x$; 2) $0,2^x > 0,2$;

3) $|x| > 1$; 4) $\sqrt{x-1} \ge 0$;

5) $\sqrt[3]{x} > 1$.

а) 1);

б) 2);

в) 3);

г) 4);

д) 5).

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Сначала найдем множество решений исходного неравенства $\lg x > 0$.

Исходное неравенство: $\lg x > 0$.

Поскольку $0 = \lg 1$, неравенство можно переписать в виде $\lg x > \lg 1$.

Функция $y = \lg x$ (логарифм по основанию 10) является возрастающей, так как ее основание $10 > 1$. Следовательно, при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется: $x > 1$.

Область допустимых значений логарифма требует, чтобы $x > 0$. Пересечение условий $x > 1$ и $x > 0$ дает итоговое решение $x > 1$.

Таким образом, множество решений исходного неравенства — это интервал $(1; +\infty)$.

Теперь проанализируем каждое из предложенных неравенств, чтобы найти то, которое имеет такое же множество решений.

1) $x^2 > x$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем $x$ за скобки: $x^2 - x > 0$, что равносильно $x(x - 1) > 0$.

Решением этого квадратичного неравенства является объединение интервалов $(-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$. Это множество не совпадает с $(1; +\infty)$.

Ответ: не равносильно.

2) $0,2^x > 0,2$

Представим правую часть как $0,2^1$: $0,2^x > 0,2^1$.

Так как основание степени $0,2$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный: $x < 1$.

Множество решений — $(-\infty; 1)$, что не совпадает с $(1; +\infty)$.

Ответ: не равносильно.

3) $|x| > 1$

Данное неравенство равносильно совокупности $x > 1$ или $x < -1$.

Множество решений — $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$, что не совпадает с $(1; +\infty)$.

Ответ: не равносильно.

4) $\sqrt{x - 1} \ge 0$

Арифметический квадратный корень по определению всегда неотрицателен. Неравенство выполняется для всех $x$, при которых подкоренное выражение определено, то есть $x - 1 \ge 0$.

Отсюда $x \ge 1$.

Множество решений — $[1; +\infty)$. Это множество не совпадает с $(1; +\infty)$, так как включает точку $x=1$, которая не является решением исходного неравенства.

Ответ: не равносильно.

5) $\sqrt[3]{x} > 1$

Функция кубического корня $y = \sqrt[3]{x}$ является строго возрастающей. Поэтому можно возвести обе части неравенства в третью степень, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt[3]{x})^3 > 1^3$

$x > 1$

Множество решений — $(1; +\infty)$, что полностью совпадает с множеством решений исходного неравенства.

Ответ: равносильно.

Таким образом, единственным неравенством, равносильным исходному, является неравенство под номером 5. В предложенных вариантах ответа это соответствует букве д).