Номер 12, страница 257 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

12. Найдите сумму последовательных целых чисел, между которыми заключена сумма корней (корень, если он единственный) уравнения

$0.5\log_{2-x} (x^2+x-6)^2=2$.

Исходное уравнение: $0,5 \log_{2-x} (x^2 + x - 6)^2 = 2$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для этого логарифмического уравнения.

1. Основание логарифма $2 - x$ должно быть положительным и не равняться единице:
$2 - x > 0 \implies x < 2$
$2 - x \neq 1 \implies x \neq 1$

2. Аргумент логарифма $(x^2 + x - 6)^2$ должен быть строго больше нуля. Так как выражение находится в квадрате, оно всегда неотрицательно. Нам нужно исключить случай, когда оно равно нулю:
$x^2 + x - 6 \neq 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, произведение корней равно $-6$, а их сумма равна $-1$. Корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.
Следовательно, $x \neq -3$ и $x \neq 2$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 1) \cup (1; 2)$.

Теперь приступим к решению уравнения. Умножим обе части уравнения на 2:
$\log_{2-x} (x^2 + x - 6)^2 = 4$

Используем свойство логарифма $\log_a (b^2) = 2 \log_a |b|$:
$2 \log_{2-x} |x^2 + x - 6| = 4$
Разделим обе части на 2:
$\log_{2-x} |x^2 + x - 6| = 2$

По определению логарифма ($\log_b a = c \iff a = b^c$):
$|x^2 + x - 6| = (2 - x)^2$

Раскроем квадрат в правой части:
$|x^2 + x - 6| = 4 - 4x + x^2$

Это уравнение с модулем равносильно совокупности двух систем.
Первый случай: $x^2 + x - 6 > 0$. Тогда $|x^2 + x - 6| = x^2 + x - 6$.
$x^2 + x - 6 = 4 - 4x + x^2$
$x + 6 = 4 - 4x$
$5x = 10$
$x = 2$
Этот корень не входит в ОДЗ, так как $x < 2$.

Второй случай: $x^2 + x - 6 < 0$. Тогда $|x^2 + x - 6| = -(x^2 + x - 6)$.
$-(x^2 + x - 6) = 4 - 4x + x^2$
$-x^2 - x + 6 = 4 - 4x + x^2$
$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0,5$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ и условию $x^2 + x - 6 < 0$.
Корень $x_1 = 2$ не входит в ОДЗ.
Корень $x_2 = -0,5$. Он входит в ОДЗ, так как $-0,5 \in (-3; 1)$. Проверим для него условие $x^2 + x - 6 < 0$:
$(-0,5)^2 + (-0,5) - 6 = 0,25 - 0,5 - 6 = -6,25 < 0$. Условие выполняется.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень $x = -0,5$.

По условию задачи, нужно найти сумму последовательных целых чисел, между которыми заключена сумма корней. Поскольку корень единственный, то сумма корней равна этому корню, то есть $-0,5$.

Найдем два последовательных целых числа $n$ и $n+1$, которые удовлетворяют неравенству:
$n < -0,5 < n+1$
Этому неравенству удовлетворяют целые числа $n = -1$ и $n+1 = 0$, так как $-1 < -0,5 < 0$.

Сумма этих последовательных целых чисел равна:
$-1 + 0 = -1$.

Ответ: $-1$