Номер 8, страница 256 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

8. Найдите сумму корней (корень, если он единственный) уравнения $\sqrt{x + 2 \cdot \log_{2}(4 + x)} = 0.$

а) -6;

б) -3;

в) -5;

г) -2;

д) 0.

Данное уравнение $\sqrt{x+2} \cdot \log_2(4+x) = 0$ представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$:

1. По свойству квадратного корня, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0$, что означает $x \ge -2$.

2. По свойству логарифма, выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $4+x > 0$, что означает $x > -4$.

Объединяя оба условия, получаем ОДЗ для всего уравнения: $x \ge -2$.

Теперь решим уравнение, рассмотрев два случая:

Случай 1: Первый множитель равен нулю.

$\sqrt{x+2} = 0$

Возведя обе части в квадрат, получаем:

$x+2 = 0$

$x_1 = -2$

Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($x \ge -2$), следовательно, он является решением уравнения.

Случай 2: Второй множитель равен нулю.

$\log_2(4+x) = 0$

По определению логарифма, это эквивалентно уравнению:

$4+x = 2^0$

$4+x = 1$

$x_2 = 1 - 4 = -3$

Проверим этот корень на соответствие ОДЗ ($x \ge -2$). Так как $-3 < -2$, этот корень не входит в область допустимых значений и является посторонним.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень $x = -2$.

В задании требуется найти сумму корней (или корень, если он единственный). Поскольку корень один, его сумма равна самому этому корню.

Ответ: -2