Номер 2, страница 255 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Решите уравнение $\log_2 (18 - 2^{-x}) = 3 - x$.

а) $\frac{1}{2}$;

б) $-2$;

в) $-1$;

г) $0$;

д) $2$.

Исходное уравнение:

$\log_2(18 - 2^{-x}) = 3 - x$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть строго больше нуля:

$18 - 2^{-x} > 0$

По определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $a^c = b$. Применим это правило к нашему уравнению:

$18 - 2^{-x} = 2^{3-x}$

Используем свойство степеней $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$ для правой части уравнения:

$18 - 2^{-x} = 2^3 \cdot 2^{-x}$

$18 - 2^{-x} = 8 \cdot 2^{-x}$

Для упрощения уравнения введем замену переменной. Пусть $t = 2^{-x}$. Поскольку показательная функция всегда принимает положительные значения, то $t > 0$.

Подставим $t$ в уравнение:

$18 - t = 8t$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $t$:

$18 = 8t + t$

$18 = 9t$

$t = \frac{18}{9}$

$t = 2$

Значение $t=2$ удовлетворяет условию $t>0$.

Выполним обратную замену:

$2^{-x} = 2$

Так как любое число (кроме 1, 0, -1) без показателя степени равно этому числу в первой степени, то $2 = 2^1$.

$2^{-x} = 2^1$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$-x = 1$

$x = -1$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ:

$18 - 2^{-(-1)} = 18 - 2^1 = 18 - 2 = 16$.

$16 > 0$, условие выполняется.

Выполним проверку, подставив $x = -1$ в исходное уравнение:

$\log_2(18 - 2^{-(-1)}) = 3 - (-1)$

$\log_2(18 - 2^1) = 3 + 1$

$\log_2(16) = 4$

$4 = 4$

Равенство верное, следовательно, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $-1$