Номер 1, страница 255 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Выберите уравнение, корнем которого

является число $\log_{11}13$:

1) $13^x = 11$;

2) $\log_{11}x = 13$;

3) $\log_{11}x^{13} = 1$;

4) $4 + x = \log_{11}17$;

5) $11^x = 13$.

а) 1);

б) 2);

в) 3);

г) 4);

д) 5).

Чтобы найти уравнение, корнем которого является число $\log_{11}13$, нужно проверить каждое из предложенных уравнений. Это можно сделать, решив каждое уравнение относительно $x$ или подставив число $\log_{11}13$ вместо $x$ и проверив, получается ли верное равенство.

1) $13^x = 11$

Это показательное уравнение. По определению логарифма, $x$ — это степень, в которую нужно возвести основание 13, чтобы получить 11. Следовательно:

$x = \log_{13}11$

Так как $x = \log_{13}11 \neq \log_{11}13$, это уравнение не является искомым.

2) $\log_{11}x = 13$

Это логарифмическое уравнение. По определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $a^c = b$. Применяя это правило, получаем:

$x = 11^{13}$

Так как $x = 11^{13} \neq \log_{11}13$, это уравнение не подходит.

3) $\log_{11}x^{13} = 1$

Используем свойство логарифма степени ($\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$):

$13 \cdot \log_{11}x = 1$

Отсюда находим $\log_{11}x$:

$\log_{11}x = \frac{1}{13}$

По определению логарифма:

$x = 11^{\frac{1}{13}}$

Так как $x = 11^{\frac{1}{13}} \neq \log_{11}13$, это уравнение не подходит.

4) $4 + x = \log_{11}17$

Выразим $x$ из данного уравнения:

$x = \log_{11}17 - 4$

Этот корень очевидно не равен $\log_{11}13$. Для большей строгости можно представить 4 как логарифм по основанию 11: $4 = \log_{11}(11^4)$. Тогда:

$x = \log_{11}17 - \log_{11}(11^4) = \log_{11}\left(\frac{17}{11^4}\right)$

Полученный корень не равен $\log_{11}13$.

5) $11^x = 13$

Это показательное уравнение. По определению логарифма, $x$ — это степень, в которую нужно возвести основание 11, чтобы получить 13. Таким образом, решение этого уравнения есть:

$x = \log_{11}13$

Это в точности то число, которое было дано в условии. Можно также проверить подстановкой: если подставить $x = \log_{11}13$ в уравнение, получим основное логарифмическое тождество $11^{\log_{11}13} = 13$, что является верным равенством ($13 = 13$).

Следовательно, это искомое уравнение.

Ответ: д) 5).