Номер 14, страница 255 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

14. Найдите значение выражения $2\log_{2}(12 + 4\sqrt{5}) + 4\log_{2}(\sqrt{10} - \sqrt{2})$.

Для нахождения значения выражения $2\log_2(12 + 4\sqrt{5}) + 4\log_2(\sqrt{10} - \sqrt{2})$ воспользуемся свойствами логарифмов: $n\log_b a = \log_b a^n$ и $\log_b a + \log_b c = \log_b (ac)$.

Сначала преобразуем каждый член выражения, внеся множитель под знак логарифма:

$2\log_2(12 + 4\sqrt{5}) = \log_2((12 + 4\sqrt{5})^2)$

$4\log_2(\sqrt{10} - \sqrt{2}) = \log_2((\sqrt{10} - \sqrt{2})^4)$

Теперь сложим логарифмы, объединив их в один по свойству суммы логарифмов:

$\log_2((12 + 4\sqrt{5})^2) + \log_2((\sqrt{10} - \sqrt{2})^4) = \log_2((12 + 4\sqrt{5})^2 \cdot (\sqrt{10} - \sqrt{2})^4)$

Упростим выражение под знаком логарифма. Для этого преобразуем каждый множитель отдельно.

Преобразуем первый множитель $12 + 4\sqrt{5}$. Вынесем общий множитель и представим выражение в виде полного квадрата:

$12 + 4\sqrt{5} = 2(6 + 2\sqrt{5}) = 2(5 + 2\sqrt{5} + 1) = 2((\sqrt{5})^2 + 2\cdot\sqrt{5}\cdot1 + 1^2) = 2(\sqrt{5} + 1)^2$

Преобразуем второй множитель $\sqrt{10} - \sqrt{2}$:

$\sqrt{10} - \sqrt{2} = \sqrt{2 \cdot 5} - \sqrt{2} = \sqrt{2}\sqrt{5} - \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{5} - 1)$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в аргумент логарифма:

$(12 + 4\sqrt{5})^2 \cdot (\sqrt{10} - \sqrt{2})^4 = (2(\sqrt{5} + 1)^2)^2 \cdot (\sqrt{2}(\sqrt{5} - 1))^4$

Возведем в степень:

$= (2^2 \cdot ((\sqrt{5} + 1)^2)^2) \cdot ((\sqrt{2})^4 \cdot (\sqrt{5} - 1)^4)$

$= (4 \cdot (\sqrt{5} + 1)^4) \cdot (4 \cdot (\sqrt{5} - 1)^4)$

Сгруппируем множители:

$= 16 \cdot ((\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1))^4$

Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ для выражения в скобках:

$= 16 \cdot ((\sqrt{5})^2 - 1^2)^4 = 16 \cdot (5 - 1)^4 = 16 \cdot 4^4$

Представим все множители в виде степеней двойки:

$= 2^4 \cdot (2^2)^4 = 2^4 \cdot 2^8 = 2^{4+8} = 2^{12}$

Итак, исходное выражение равно $\log_2(2^{12})$.

По свойству логарифма $\log_b(b^x) = x$:

$\log_2(2^{12}) = 12$

Ответ: 12