Номер 7, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

7. Найдите, при каких значениях переменной имеет смысл выражение $\log_x (-x^2 + 2x + 3)$.

а) $(0; 1) \cup (1; 3)$;

б) $(0; 3)$;

в) $(3; +\infty)$;

г) $(0; 1) \cup (0; +\infty)$;

д) $(-1; 3)$.

Логарифмическое выражение $\log_a b$ имеет смысл (определено) тогда и только тогда, когда одновременно выполняются три условия: основание логарифма должно быть больше нуля ($a > 0$), основание не должно быть равно единице ($a \ne 1$), и аргумент (подлогарифмическое выражение) должен быть строго больше нуля ($b > 0$).

В нашем случае, для выражения $\log_x (-x^2 + 2x + 3)$, основание $a=x$ и аргумент $b=-x^2 + 2x + 3$. Запишем область определения в виде системы неравенств:

$ \begin{cases} x > 0 \\ x \ne 1 \\ -x^2 + 2x + 3 > 0 \end{cases} $

Теперь решим третье неравенство: $-x^2 + 2x + 3 > 0$.

Для этого сначала найдем корни квадратного уравнения $-x^2 + 2x + 3 = 0$. Можно умножить уравнение на -1, чтобы получить приведенный вид:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 = 4^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-2) - 4}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-(-2) + 4}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$

Графиком функции $y = -x^2 + 2x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный). Следовательно, функция принимает положительные значения на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства $-x^2 + 2x + 3 > 0$ — это интервал $x \in (-1; 3)$.

Вернемся к системе и найдем пересечение всех условий:

$ \begin{cases} x > 0 \\ x \ne 1 \\ x \in (-1; 3) \end{cases} $

Пересечение первого и третьего условий, $x > 0$ и $x \in (-1; 3)$, дает интервал $(0; 3)$.

Теперь учтем второе условие $x \ne 1$. Мы должны исключить точку $1$ из интервала $(0; 3)$.

Это разбивает интервал на два: $(0; 1)$ и $(1; 3)$.

Итоговое множество значений, при которых выражение имеет смысл, является объединением этих интервалов: $(0; 1) \cup (1; 3)$.

Сравнивая с предложенными вариантами, мы видим, что это соответствует варианту а).

Ответ: а) $(0; 1) \cup (1; 3)$.