Номер 3, страница 253 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3. Выберите функцию, график которой изображен на рисунке.

а) $y = \log_2 x;$

б) $y = -\log_2 x;$

в) $y = \log_2 (-x);$

г) $y = -\log_2 (-x);$

д) $y = -2^x.$

Для того чтобы определить, какая из предложенных функций соответствует графику, проанализируем сам график и свойства каждой функции.

Свойства графика на рисунке:
1. Область определения: $x \in (-\infty; 0)$. График расположен слева от оси OY.
2. Монотонность: Функция является убывающей на всей области определения.
3. Ключевые точки: График проходит через точку $(-1, 0)$. Также можно определить другие точки, например: $(-2, -1)$, $(-4, -2)$, $(-8, -3)$.
4. Асимптота: Прямая $x=0$ (ось OY) является вертикальной асимптотой.

Теперь проверим каждую из предложенных функций.

а) $y = \log_2 x$

Область определения этой функции - $x > 0$. График, изображенный на рисунке, определен для $x < 0$. Следовательно, эта функция не подходит.

Ответ: не подходит.

б) $y = -\log_2 x$

Область определения этой функции также $x > 0$, что не соответствует графику на рисунке, который определен при $x < 0$.

Ответ: не подходит.

в) $y = \log_2(-x)$

Область определения: $-x > 0 \implies x < 0$. Это совпадает с графиком. Проверим точку $(-1, 0)$: $y = \log_2(-(-1)) = \log_2(1) = 0$. Точка принадлежит графику. Проверим другую точку, например $x=-2$: $y = \log_2(-(-2)) = \log_2(2) = 1$. На графике же в точке $x = -2$ значение $y = -1$, а не $1$. Кроме того, эта функция является возрастающей, а на рисунке изображена убывающая функция. Следовательно, эта функция не подходит.

Ответ: не подходит.

г) $y = -\log_2(-x)$

Область определения: $-x > 0 \implies x < 0$. Это совпадает с графиком. Функция является убывающей, что также соответствует графику. Проверим ключевые точки:
- При $x = -1$: $y = -\log_2(-(-1)) = -\log_2(1) = 0$. Точка $(-1, 0)$ совпадает.
- При $x = -2$: $y = -\log_2(-(-2)) = -\log_2(2) = -1$. Точка $(-2, -1)$ совпадает.
- При $x = -4$: $y = -\log_2(-(-4)) = -\log_2(4) = -2$. Точка $(-4, -2)$ совпадает.
- При $x = -8$: $y = -\log_2(-(-8)) = -\log_2(8) = -3$. Точка $(-8, -3)$ совпадает.
Все свойства и контрольные точки совпадают. Эта функция соответствует графику.

Ответ: подходит.

д) $y = -2^x$

Это показательная функция. Ее график имеет горизонтальную асимптоту $y=0$, в то время как график на рисунке имеет вертикальную асимптоту $x=0$. Кроме того, график функции $y = -2^x$ проходит через точку $(0, -1)$, а функция на рисунке в точке $x=0$ не определена. Следовательно, эта функция не подходит.

Ответ: не подходит.

Вывод: Единственная функция, график которой изображен на рисунке, — это $y = -\log_2(-x)$, что соответствует варианту г).