Номер 13, страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

13. Найдите сумму целых решений неравенства $ \frac{2^x - 2^{2 - x} - 3}{2^x - 2} \ge 0 $ на промежутке $ [-5, 3] $.

Для решения неравенства $\frac{2^x - 2^{2-x} - 3}{2^x - 2} \ge 0$ введем замену переменной.

Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Перепишем неравенство с новой переменной, используя свойство степеней $2^{2-x} = \frac{2^2}{2^x} = \frac{4}{t}$:

$\frac{t - \frac{4}{t} - 3}{t - 2} \ge 0$

Приведем числитель к общему знаменателю:

$\frac{\frac{t^2 - 4 - 3t}{t}}{t - 2} \ge 0$

$\frac{t^2 - 3t - 4}{t(t - 2)} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов для переменной $t$. Найдем корни числителя и знаменателя.

1. Корни числителя: $t^2 - 3t - 4 = 0$.

По теореме Виета, корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.

2. Корни знаменателя: $t(t - 2) = 0$.

Корни $t_3 = 0$ и $t_4 = 2$.

Теперь отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения $\frac{(t-4)(t+1)}{t(t-2)}$ в полученных интервалах. Учитываем, что по замене $t > 0$.

Критические точки на области $t > 0$ это $t=2$ (выколотая, т.к. в знаменателе) и $t=4$ (включенная, т.к. в числителе и неравенство нестрогое).

• При $t \in (0, 2)$, например $t=1$, выражение $\frac{1^2 - 3(1) - 4}{1(1-2)} = \frac{-6}{-1} = 6 > 0$. Промежуток подходит.
• При $t \in (2, 4)$, например $t=3$, выражение $\frac{3^2 - 3(3) - 4}{3(3-2)} = \frac{-4}{3} < 0$. Промежуток не подходит.
• При $t > 4$, например $t=5$, выражение $\frac{5^2 - 3(5) - 4}{5(5-2)} = \frac{6}{15} > 0$. Промежуток подходит.

Таким образом, решение для $t$: $t \in (0, 2) \cup [4, +\infty)$.

Вернемся к исходной переменной $x$, сделав обратную замену $t = 2^x$.

1. $0 < 2^x < 2$

Неравенство $2^x > 0$ выполняется для любого $x$.

Неравенство $2^x < 2$ можно записать как $2^x < 2^1$. Так как основание степени $2 > 1$, то $x < 1$.

2. $2^x \ge 4$

Запишем как $2^x \ge 2^2$. Так как основание степени $2 > 1$, то $x \ge 2$.

Общее решение неравенства: $x \in (-\infty, 1) \cup [2, +\infty)$.

Теперь найдем все целые решения, принадлежащие промежутку $[-5, 3]$.

Выберем целые числа из пересечения множества решений с отрезком $[-5, 3]$:

1. Целые числа из $(-\infty, 1) \cap [-5, 3]$ — это целые числа на промежутке $[-5, 1)$, то есть: $\{-5, -4, -3, -2, -1, 0\}$.

2. Целые числа из $[2, +\infty) \cap [-5, 3]$ — это целые числа на промежутке $[2, 3]$, то есть: $\{2, 3\}$.

Множество всех целых решений на заданном промежутке: $\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 2, 3\}$.

Найдем сумму этих целых решений:

$S = -5 + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 2 + 3$

$S = (-5 - 4) + (-3 + 3) + (-2 + 2) - 1 + 0 = -9 + 0 + 0 - 1 = -10$.

Ответ: -10