Номер 7, страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

7. Найдите наименьшее целое решение неравенства $9^x + 8 \cdot 3^{2x} > 4^x + 5 \cdot 2^{2x}$.

а) 1;

б) -3;

в) 0;

г) -1;

д) -2.

Для решения данного неравенства преобразуем его, приведя показательные функции к общим основаниям.

Исходное неравенство: $9^x + 8 \cdot 3^{2x} > 4^x + 5 \cdot 2^{2x}$

Заметим, что $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$ и $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$. Подставим эти выражения в неравенство: $3^{2x} + 8 \cdot 3^{2x} > 2^{2x} + 5 \cdot 2^{2x}$

Сгруппируем и упростим слагаемые в левой и правой частях неравенства: $(1 + 8) \cdot 3^{2x} > (1 + 5) \cdot 2^{2x}$ $9 \cdot 3^{2x} > 6 \cdot 2^{2x}$

Теперь преобразуем это неравенство. Можно заметить, что $9 = 3^2$. $3^2 \cdot 3^{2x} > 6 \cdot 2^{2x}$ $3^{2x+2} > 6 \cdot 2^{2x}$

Разделим обе части неравенства на $2^{2x}$. Так как $2^{2x} > 0$ для любого действительного $x$, знак неравенства не изменится: $\frac{3^{2x+2}}{2^{2x}} > 6$ $\frac{3^{2x} \cdot 3^2}{2^{2x}} > 6$ $9 \cdot \frac{3^{2x}}{2^{2x}} > 6$ $9 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{2x} > 6$

Выразим показательную функцию: $\left(\frac{3}{2}\right)^{2x} > \frac{6}{9}$ $\left(\frac{3}{2}\right)^{2x} > \frac{2}{3}$

Чтобы решить это неравенство, представим правую часть в виде степени с тем же основанием $\frac{3}{2}$: $\frac{2}{3} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-1}$ Теперь неравенство принимает вид: $\left(\frac{3}{2}\right)^{2x} > \left(\frac{3}{2}\right)^{-1}$

Так как основание степени $\frac{3}{2} > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента (показателя степени). Поэтому мы можем сравнить показатели, сохранив знак неравенства: $2x > -1$

Решим полученное линейное неравенство относительно $x$: $x > -\frac{1}{2}$

В задаче требуется найти наименьшее целое решение неравенства. Целые числа, которые удовлетворяют условию $x > -0.5$, это $0, 1, 2, 3, \ldots$. Наименьшим из этих целых чисел является $0$.

Среди предложенных вариантов ответа (а) 1; б) -3; в) 0; г) -1; д) -2) наш ответ $0$ соответствует варианту в).

Ответ: 0.