Номер 15, страница 249 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

15. Найдите сумму корней (корень, если он единственный) уравнения

$2^x + 2^{-x} = 2\cos\left(\frac{x}{3}\right).$

Рассмотрим данное уравнение: $2^x + 2^{-x} = 2\cos(\frac{x}{3})$.

Для решения этого уравнения воспользуемся методом оценки левой и правой частей.

Рассмотрим левую часть уравнения: $f(x) = 2^x + 2^{-x}$.

Так как $2^x > 0$ для любого действительного $x$, мы можем применить неравенство о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел $a = 2^x$ и $b = 2^{-x}$:

$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

Подставив наши значения, получим:

$\frac{2^x + 2^{-x}}{2} \ge \sqrt{2^x \cdot 2^{-x}}$

$\frac{2^x + 2^{-x}}{2} \ge \sqrt{2^{x-x}}$

$\frac{2^x + 2^{-x}}{2} \ge \sqrt{2^0}$

$\frac{2^x + 2^{-x}}{2} \ge 1$

$2^x + 2^{-x} \ge 2$

Таким образом, наименьшее значение левой части уравнения равно 2. Равенство достигается только в том случае, когда слагаемые равны, то есть $2^x = 2^{-x}$, что эквивалентно $x = -x$, и значит, $x = 0$.

Теперь рассмотрим правую часть уравнения: $g(x) = 2\cos(\frac{x}{3})$.

Известно, что область значений функции косинус находится в промежутке $[-1, 1]$, то есть:

$-1 \le \cos(\frac{x}{3}) \le 1$

Умножив все части неравенства на 2, получим:

$-2 \le 2\cos(\frac{x}{3}) \le 2$

Таким образом, наибольшее значение правой части уравнения равно 2. Это значение достигается, когда $\cos(\frac{x}{3}) = 1$.

Исходное уравнение $2^x + 2^{-x} = 2\cos(\frac{x}{3})$ может иметь решение только в том случае, когда его левая и правая части одновременно равны 2, так как $2^x + 2^{-x} \ge 2$ и $2\cos(\frac{x}{3}) \le 2$.

Это равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} 2^x + 2^{-x} = 2 \\ 2\cos(\frac{x}{3}) = 2 \end{cases}$

Из первого уравнения, как мы выяснили ранее, следует, что его единственным решением является $x = 0$.

Проверим, удовлетворяет ли это решение второму уравнению системы:

$2\cos(\frac{0}{3}) = 2\cos(0) = 2 \cdot 1 = 2$.

Поскольку $x=0$ удовлетворяет обоим уравнениям, это является единственным решением исходного уравнения.

По условию задачи требуется найти сумму корней. Так как уравнение имеет единственный корень $x = 0$, то сумма корней равна этому корню.

Ответ: 0