Номер 10, страница 249 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

10. Найдите значение выражения $2^x + 2^{-x}$, если $16^x + 16^{-x} = 527$.

Для решения этой задачи воспользуемся заменой переменной и алгебраическими преобразованиями. Обозначим искомое выражение через $y$:
$y = 2^x + 2^{-x}$
Заметим, что $16 = 2^4$. Тогда данное в условии уравнение $16^x + 16^{-x} = 527$ можно переписать через степени двойки: $(2^4)^x + (2^4)^{-x} = 527$, или $2^{4x} + 2^{-4x} = 527$.
Теперь выразим $2^{4x} + 2^{-4x}$ через $y$. Для этого последовательно возведем в квадрат выражение для $y$.
Сначала возведем $y$ в квадрат:
$y^2 = (2^x + 2^{-x})^2 = (2^x)^2 + 2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x} + (2^{-x})^2 = 2^{2x} + 2 + 2^{-2x}$.
Отсюда можно выразить сумму $2^{2x} + 2^{-2x}$, которая равна $4^x + 4^{-x}$:
$4^x + 4^{-x} = y^2 - 2$.
Теперь возведем в квадрат полученное выражение, чтобы получить члены с основанием 16:
$(4^x + 4^{-x})^2 = (y^2 - 2)^2$
$(4^x)^2 + 2 \cdot 4^x \cdot 4^{-x} + (4^{-x})^2 = (y^2 - 2)^2$
$4^{2x} + 2 + 4^{-2x} = (y^2 - 2)^2$
$16^x + 16^{-x} + 2 = (y^2 - 2)^2$
Подставим в это равенство известное из условия значение $16^x + 16^{-x} = 527$:
$527 + 2 = (y^2 - 2)^2$
$529 = (y^2 - 2)^2$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$y^2 - 2 = \pm\sqrt{529}$
Поскольку $23^2 = 529$, получаем два возможных уравнения:
$y^2 - 2 = 23$ или $y^2 - 2 = -23$.
Из первого уравнения получаем $y^2 = 25$. Из второго уравнения получаем $y^2 = -21$.
Так как $y$ — это действительное число (сумма двух действительных чисел), его квадрат $y^2$ не может быть отрицательным. Следовательно, вариант $y^2 = -21$ не имеет решений в действительных числах.
Рассмотрим единственно возможный случай: $y^2 = 25$.
Отсюда $y = \pm\sqrt{25}$, то есть $y = 5$ или $y = -5$.
По определению $y = 2^x + 2^{-x}$. Поскольку показательная функция $a^z$ с основанием $a>0$ всегда положительна ($2^x > 0$ и $2^{-x} > 0$), их сумма также должна быть положительной, то есть $y > 0$.
Следовательно, из двух возможных значений для $y$ подходит только положительное: $y=5$.
Ответ: 5