Номер 6, страница 248 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

6. Найдите произведение корней уравнения $4^{\frac{1}{x}} - 5 \cdot 2^{2+\frac{1}{x}} + 64 = 0.$

а) 1;
б) $2^{-1}$;
в) $2^{-3}$;
г) $2^{-2}$;
д) $2^{-4}$.

6. Для решения данного уравнения выполним следующие преобразования.

Исходное уравнение:

$$4^{\frac{1}{x}} - 5 \cdot 2^{2+\frac{1}{x}} + 64 = 0$$

Сначала преобразуем члены уравнения, чтобы привести их к одному основанию. Заметим, что $4 = 2^2$ и по свойству степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, можно записать $2^{2+\frac{1}{x}} = 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{x}} = 4 \cdot 2^{\frac{1}{x}}$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$$(2^2)^{\frac{1}{x}} - 5 \cdot (4 \cdot 2^{\frac{1}{x}}) + 64 = 0$$

Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$$(2^{\frac{1}{x}})^2 - 20 \cdot 2^{\frac{1}{x}} + 64 = 0$$

Это уравнение является квадратным относительно выражения $2^{\frac{1}{x}}$. Чтобы упростить его, введем замену переменной. Пусть $t = 2^{\frac{1}{x}}$. Поскольку показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

С новой переменной уравнение принимает вид:

$$t^2 - 20t + 64 = 0$$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Воспользуемся теоремой Виета. Нам нужны два числа, сумма которых равна 20, а произведение равно 64. Этими числами являются 16 и 4.

Следовательно, корни уравнения для $t$:

$t_1 = 16$ и $t_2 = 4$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти корни исходного уравнения $x_1$ и $x_2$.

Для $t_1 = 16$:

$$2^{\frac{1}{x_1}} = 16$$

$$2^{\frac{1}{x_1}} = 2^4$$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$$\frac{1}{x_1} = 4 \quad \Rightarrow \quad x_1 = \frac{1}{4}$$

Для $t_2 = 4$:

$$2^{\frac{1}{x_2}} = 4$$

$$2^{\frac{1}{x_2}} = 2^2$$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$$\frac{1}{x_2} = 2 \quad \Rightarrow \quad x_2 = \frac{1}{2}$$

Мы нашли оба корня уравнения: $x_1 = 1/4$ и $x_2 = 1/2$.

По условию задачи требуется найти произведение корней:

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$$

Чтобы сравнить результат с предложенными вариантами, представим $\frac{1}{8}$ в виде степени с основанием 2:

$$\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$$

Этот результат соответствует варианту ответа в).

Ответ: $2^{-3}$.