Номер 7, страница 249 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

7. Выберите промежуток, которо-

му принадлежит корень уравнения

$3^{x+3} + 3^x = 5 \cdot 2^{x+4} - 17 \cdot 2^x$.

а) $(-0,5; 0,5);$

б) $(0,5; 1,5);$

в) $(1,5; 2,5);$

г) $(2,5; 3,5);$

д) $(3,5; 4,5).$

Для того чтобы найти корень уравнения $3^{x+3} + 3^x = 5 \cdot 2^{x+4} - 17 \cdot 2^x$, необходимо его упростить.

Воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и преобразуем обе части уравнения, вынося общие множители за скобки.

Левая часть: $3^{x+3} + 3^x = 3^x \cdot 3^3 + 3^x = 3^x(27+1) = 28 \cdot 3^x$.

Правая часть: $5 \cdot 2^{x+4} - 17 \cdot 2^x = 5 \cdot 2^x \cdot 2^4 - 17 \cdot 2^x = 2^x(5 \cdot 16 - 17) = 2^x(80-17) = 63 \cdot 2^x$.

Приравняем полученные выражения:
$28 \cdot 3^x = 63 \cdot 2^x$.

Сгруппируем члены, содержащие переменную $x$, в левой части, а постоянные — в правой. Для этого разделим обе части на $2^x$ (что всегда положительно) и на 28:
$\frac{3^x}{2^x} = \frac{63}{28}$.

Используя свойство частного степеней $(\frac{a}{b})^k = \frac{a^k}{b^k}$ и сократив дробь в правой части на 7, получим:
$(\frac{3}{2})^x = \frac{9}{4}$.

Заметим, что правую часть можно представить в виде степени с основанием $\frac{3}{2}$:
$\frac{9}{4} = (\frac{3}{2})^2$.

Таким образом, уравнение принимает вид:
$(\frac{3}{2})^x = (\frac{3}{2})^2$.

Из равенства степеней с одинаковым основанием следует равенство их показателей:
$x = 2$.

Мы нашли корень уравнения, $x=2$. Теперь необходимо определить, какому из предложенных промежутков он принадлежит. Проанализировав варианты, мы видим, что число 2 находится в интервале $(1,5; 2,5)$, поскольку выполняется двойное неравенство $1,5 < 2 < 2,5$. Этот промежуток соответствует варианту в).

Ответ: в) $(1,5; 2,5)$.