Номер 13, страница 249 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

13. Найдите значение выражения $3^m$, где $m$ — сумма корней уравнения

$12^x + 6^x - 2 \cdot 4^x - 2 \cdot 3^x - 2^{x+1} + 4 = 0$.

Для решения задачи сначала найдем корни данного уравнения:$12^x + 6^x - 2 \cdot 4^x - 2 \cdot 3^x - 2^{x+1} + 4 = 0$

Преобразуем уравнение, разложив основания степеней на простые множители: $12 = 3 \cdot 4 = 3 \cdot 2^2$, $6 = 2 \cdot 3$, $4 = 2^2$.$(3 \cdot 2^2)^x + (2 \cdot 3)^x - 2 \cdot (2^2)^x - 2 \cdot 3^x - 2^x \cdot 2^1 + 4 = 0$$3^x \cdot (2^2)^x + 2^x \cdot 3^x - 2 \cdot (2^2)^x - 2 \cdot 3^x - 2 \cdot 2^x + 4 = 0$$3^x \cdot 2^{2x} + 2^x \cdot 3^x - 2 \cdot 2^{2x} - 2 \cdot 3^x - 2 \cdot 2^x + 4 = 0$

Сгруппируем слагаемые методом разложения на множители. Сгруппируем члены, содержащие $3^x$, и оставшиеся члены:$(3^x \cdot 2^{2x} + 2^x \cdot 3^x - 2 \cdot 3^x) - (2 \cdot 2^{2x} + 2 \cdot 2^x - 4) = 0$Вынесем общие множители из каждой группы:$3^x(2^{2x} + 2^x - 2) - 2(2^{2x} + 2^x - 2) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(2^{2x} + 2^x - 2)$ за скобки:$(3^x - 2)(2^{2x} + 2^x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Это приводит к двум уравнениям:

1) $3^x - 2 = 0 \implies 3^x = 2$. Отсюда находим первый корень: $x_1 = \log_3 2$.

2) $2^{2x} + 2^x - 2 = 0$. Это квадратное уравнение относительно $2^x$. Сделаем замену $t = 2^x$, где $t > 0$.$t^2 + t - 2 = 0$. Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$. Корень $t_2 = -2$ является посторонним, так как $t=2^x$ должно быть положительным. Возвращаемся к замене с $t_1 = 1$:$2^x = 1 \implies 2^x = 2^0$. Отсюда находим второй корень: $x_2 = 0$.

По условию, $m$ – это сумма корней уравнения.$m = x_1 + x_2 = \log_3 2 + 0 = \log_3 2$.

Наконец, найдем значение выражения $3^m$:$3^m = 3^{\log_3 2}$. Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:$3^{\log_3 2} = 2$.

Ответ: 2