Номер 1, страница 250 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Выберите неравенство, не имеющее решений:

1) $2^x \le 10;$

2) $2^x > 5;$

3) $2^x \le 0;$

4) $2^x > 0;$

5) $2^x \ge -7.$

а) 1);

б) 2);

в) 3);

г) 4);

д) 5).

Чтобы определить, какое из предложенных неравенств не имеет решений, необходимо проанализировать каждое из них, опираясь на свойства показательной функции $y = 2^x$.

Ключевое свойство показательной функции с основанием $a > 1$ (в данном случае $a=2$) заключается в том, что ее область значений — это множество всех положительных действительных чисел. Это означает, что для любого действительного числа $x$ выражение $2^x$ всегда будет строго больше нуля ($2^x > 0$).

Рассмотрим по порядку каждое неравенство:

1) $2^x \le 10$

Это неравенство имеет решения. Так как показательная функция $y=2^x$ возрастает и может принимать значения от 0 до $+\infty$, найдется такое значение $x$, при котором $2^x$ будет меньше или равно 10. Например, $x=1$ является решением ($2^1 = 2 \le 10$). Решением неравенства является промежуток $(-\infty; \log_2{10}]$.

2) $2^x > 5$

Это неравенство также имеет решения. Например, $x=3$ является решением ($2^3 = 8 > 5$). Решением неравенства является промежуток $(\log_2{5}; +\infty)$.

3) $2^x \le 0$

Исходя из основного свойства показательной функции, значение выражения $2^x$ всегда строго положительно ($2^x > 0$) для любого действительного $x$. Следовательно, оно никогда не может быть ни отрицательным, ни равным нулю. Таким образом, это неравенство не имеет решений.

4) $2^x > 0$

Это неравенство верно для любого действительного числа $x$, поскольку, как уже было сказано, значение показательной функции всегда положительно. Множество решений — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

5) $2^x \ge -7$

Поскольку $2^x$ всегда является положительным числом, оно всегда будет больше любого отрицательного числа, в том числе и -7. Следовательно, это неравенство верно для любого действительного $x$.

Проанализировав все варианты, мы приходим к выводу, что единственное неравенство, не имеющее решений, это $2^x \le 0$, которое указано под номером 3. В вариантах ответа справа это соответствует букве "в".

Ответ: в) 3).