Номер 8, страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

8. Найдите число целых решений

неравенства $1 < 3^{|x^2 - x|} < 9$.

а) 1;

б) 2;

в) 3;

г) 0;

д) 4.

Для решения неравенства $1 < 3^{|x^2 - x|} < 9$ необходимо найти все целые значения $x$, удовлетворяющие этому условию.

Сначала преобразуем неравенство, представив числа 1 и 9 в виде степеней с основанием 3:
$1 = 3^0$
$9 = 3^2$
Подставив эти значения, получаем:
$3^0 < 3^{|x^2 - x|} < 3^2$

Поскольку основание степени $3$ больше единицы ($3 > 1$), показательная функция является возрастающей. Это позволяет нам перейти от неравенства для степеней к неравенству для их показателей, сохраняя знаки неравенства:
$0 < |x^2 - x| < 2$

Теперь задача сводится к поиску целых чисел $x$, для которых значение выражения $|x^2 - x|$ лежит в интервале $(0, 2)$. Проверим значения этого выражения для целых $x$, начиная с тех, что расположены ближе к нулю.

- При $x = 0$: $|0^2 - 0| = |0| = 0$. Это значение не попадает в интервал $(0, 2)$, так как $0 \ngtr 0$.
- При $x = 1$: $|1^2 - 1| = |0| = 0$. Это значение также не удовлетворяет условию.
- При $x = -1$: $|(-1)^2 - (-1)| = |1 + 1| = |2| = 2$. Это значение не попадает в интервал $(0, 2)$, так как $2 \not< 2$.
- При $x = 2$: $|2^2 - 2| = |4 - 2| = |2| = 2$. Это значение также не удовлетворяет условию.

Для любых других целых значений $x$ (например, $x=3$ или $x=-2$) значение выражения $|x^2 - x|$ будет еще больше, чем 2. Например, при $x=3$ имеем $|3^2-3|=6$, а при $x=-2$ имеем $|(-2)^2-(-2)|=6$.

Таким образом, не существует ни одного целого числа $x$, для которого выполнялось бы неравенство $0 < |x^2 - x| < 2$. Следовательно, исходное неравенство не имеет целых решений.

Ответ: г) 0.