Номер 10, страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

10. Найдите наибольшее целое решение неравенства $5^{x-4} \le 7^{8-2x}$.

Дано показательное неравенство:

$5^{x-4} \le 7^{8-2x}$

Для решения таких неравенств с разными основаниями и переменной в показателе степени обеих частей, удобно прологарифмировать обе части. Можно использовать логарифм по любому основанию, большему 1, при этом знак неравенства сохранится, так как логарифмическая функция с таким основанием является возрастающей. Возьмем натуральный логарифм (ln).

$\ln(5^{x-4}) \le \ln(7^{8-2x})$

Используя свойство логарифма степени $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$, вынесем показатели степеней за знак логарифма:

$(x-4)\ln(5) \le (8-2x)\ln(7)$

Преобразуем выражение в правой части, чтобы выделить множитель $(x-4)$. Заметим, что $8-2x = 2(4-x) = -2(x-4)$.

$(x-4)\ln(5) \le -2(x-4)\ln(7)$

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:

$(x-4)\ln(5) + 2(x-4)\ln(7) \le 0$

Теперь можно вынести общий множитель $(x-4)$ за скобки:

$(x-4)(\ln(5) + 2\ln(7)) \le 0$

Рассмотрим второй множитель $(\ln(5) + 2\ln(7))$. Поскольку $e \approx 2.718$, то $\ln(5) > \ln(1) = 0$ и $\ln(7) > \ln(1) = 0$. Сумма двух положительных чисел является положительным числом, то есть $\ln(5) + 2\ln(7) > 0$.

Разделим обе части неравенства на положительное число $(\ln(5) + 2\ln(7))$. Знак неравенства при этом не изменится:

$x-4 \le 0$

Отсюда получаем решение:

$x \le 4$

Множество решений неравенства — это все числа в промежутке $(-\infty; 4]$.

Требуется найти наибольшее целое решение. Целые числа, удовлетворяющие этому условию: ..., 2, 3, 4. Наибольшее из них — 4.

Ответ: 4