Номер 9, страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

9. Решите неравенство

$25 \cdot 2^x - 10^x + 5^x > 25.$

а) $(0; 1);$

б) $(0; 2);$

в) $(1; 2);$

г) $(0; 5);$

д) $(2; 5).$

б)

Исходное неравенство: $25 \cdot 2^x - 10^x + 5^x > 25$

Перенесем все члены неравенства в левую часть: $25 \cdot 2^x - 10^x + 5^x - 25 > 0$

Представим $10^x$ как $(2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x$ и сгруппируем слагаемые: $(25 \cdot 2^x - 2^x \cdot 5^x) + (5^x - 25) > 0$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе: $2^x(25 - 5^x) + 1 \cdot (5^x - 25) > 0$

Заметим, что выражение $(5^x - 25)$ является противоположным выражению $(25 - 5^x)$, то есть $(5^x - 25) = -(25 - 5^x)$. Сделаем замену: $2^x(25 - 5^x) - (25 - 5^x) > 0$

Теперь можно вынести общий множитель $(25 - 5^x)$ за скобки: $(2^x - 1)(25 - 5^x) > 0$

Данное неравенство можно решить методом интервалов. Найдем нули каждого множителя:
1) $2^x - 1 = 0 \implies 2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$
2) $25 - 5^x = 0 \implies 5^x = 25 \implies 5^x = 5^2 \implies x = 2$

Отметим точки $x=0$ и $x=2$ на числовой прямой. Они разбивают ее на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; \infty)$. Определим знак произведения $(2^x - 1)(25 - 5^x)$ на каждом из интервалов.

• При $x > 2$ (например, $x=3$): $(2^3-1)(25-5^3) = (7)(-100) < 0$. Знак "минус".
• При $0 < x < 2$ (например, $x=1$): $(2^1-1)(25-5^1) = (1)(20) > 0$. Знак "плюс".
• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $(2^{-1}-1)(25-5^{-1}) = (-\frac{1}{2})(24.8) < 0$. Знак "минус".

Так как знак неравенства ">", нас интересует интервал, где произведение положительно. Это интервал $(0; 2)$.

Ответ: $(0; 2)$.