Номер 1, страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Расположите числа

$log_2 5; log_{\frac{1}{2}} 7^{-1}; log_{\frac{\sqrt{2}}{2}} 3; log_{32} 1; log_2 \sqrt[5]{16}$

в порядке убывания.

a) $log_{\frac{\sqrt{2}}{2}} 3; log_{32} 1;$
$log_2 \sqrt[5]{16}; log_2 5; log_{\frac{1}{2}} 7^{-1};$

б) $log_2 \sqrt[5]{16}; log_2 5; log_{32} 1;$
$log_{\frac{1}{2}} 7^{-1}; log_{\frac{\sqrt{2}}{2}} 3;$

в) $log_{\frac{\sqrt{2}}{2}} 3; log_2 5;$
$log_2 \sqrt[5]{16}; log_{32} 1; log_{\frac{1}{2}} 7^{-1};$

г) $log_{\frac{1}{2}} 7^{-1}; log_2 5;$
$log_2 \sqrt[5]{16}; log_{32} 1; log_{\frac{\sqrt{2}}{2}} 3;$

д) $log_2 \sqrt[5]{16}; log_2 5;$
$log_{\frac{1}{2}} 7^{-1}; log_{\frac{\sqrt{2}}{2}} 3; log_{32} 1.$

Для того чтобы расположить данные числа в порядке убывания, необходимо их упростить и привести к удобному для сравнения виду. Наиболее удобным является приведение всех логарифмов к одному основанию, в данном случае к основанию 2.

Выполним преобразование для каждого числа:

1. $log_2 5$. Данное выражение уже имеет основание 2. Его аргумент равен 5.

2. $log_{\frac{1}{2}} 7^{-1}$. Используя свойства логарифмов $log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}log_a b$, преобразуем выражение. Основание $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, аргумент $7^{-1}$.
$log_{\frac{1}{2}} 7^{-1} = log_{2^{-1}} 7^{-1} = \frac{-1}{-1} log_2 7 = log_2 7$.
Аргумент этого логарифма равен 7.

3. $log_{\frac{\sqrt{2}}{2}} 3$. Преобразуем основание: $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2^{1/2}}{2^1} = 2^{1/2 - 1} = 2^{-1/2}$.
Тогда, $log_{\frac{\sqrt{2}}{2}} 3 = log_{2^{-1/2}} 3 = \frac{1}{-1/2} log_2 3 = -2 log_2 3$.
Используя свойство $k \cdot log_a b = log_a b^k$, получаем: $log_2 3^{-2} = log_2 \frac{1}{9}$.
Аргумент этого логарифма равен $\frac{1}{9}$.

4. $log_{32} 1$. Логарифм от единицы по любому допустимому основанию равен нулю: $log_{32} 1 = 0$.
Чтобы привести к основанию 2, запишем 0 как $log_2 1$, так как $2^0 = 1$.
Аргумент этого логарифма равен 1.

5. $log_2 \sqrt[5]{16}$. Упростим аргумент: $\sqrt[5]{16} = \sqrt[5]{2^4} = (2^4)^{1/5} = 2^{4/5}$.
Таким образом, $log_2 \sqrt[5]{16} = log_2 (2^{4/5})$.
Аргумент этого логарифма равен $2^{4/5}$.

Теперь необходимо сравнить следующие числа, приведенные к основанию 2:
$log_2 5$, $log_2 7$, $log_2 \frac{1}{9}$, $log_2 1$, $log_2 (2^{4/5})$.

Функция $y = log_2 x$ является возрастающей на всей области определения, так как ее основание $2 > 1$. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение логарифма. Следовательно, для упорядочивания логарифмов достаточно сравнить их аргументы:
$5$; $7$; $\frac{1}{9}$; $1$; $2^{4/5}$.

Расположим аргументы в порядке убывания. Для этого сравним их значения:
$7 > 5$.
$2^{4/5} = \sqrt[5]{16}$. Так как $1^5=1$ и $2^5=32$, то $1 < \sqrt[5]{16} < 2$.
Следовательно, $5 > 2^{4/5} > 1$.
Число $\frac{1}{9}$ меньше 1.
Получаем следующую последовательность для аргументов: $7 > 5 > 2^{4/5} > 1 > \frac{1}{9}$.

Так как функция логарифма по основанию 2 возрастающая, то и сами логарифмы будут расположены в том же порядке:
$log_2 7 > log_2 5 > log_2 (2^{4/5}) > log_2 1 > log_2 \frac{1}{9}$.

Подставим исходные выражения, чтобы получить окончательный ответ:
$log_{\frac{1}{2}} 7^{-1} > log_2 5 > log_2 \sqrt[5]{16} > log_{32} 1 > log_{\frac{\sqrt{2}}{2}} 3$.

Ответ: $log_{\frac{1}{2}} 7^{-1}$; $log_2 5$; $log_2 \sqrt[5]{16}$; $log_{32} 1$; $log_{\frac{\sqrt{2}}{2}} 3$.