Номер 2, страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Выберите выражение, значение которого равно 0,5:

1) $\log_6 36 + \log_2 16$;

2) $\log_{27} 81 + \log_{27} 9$;

3) $\log_2 24 - \log_2 6$;

4) $\log_{16} \log_3 81$;

5) $(7^{\log_7 \sqrt[5]{3}})^5$.

а) 1);

б) 2);

в) 3);

г) 4);

д) 5).

Чтобы найти выражение, значение которого равно 0,5, необходимо вычислить значение каждого из предложенных выражений.

1) $\log_6 36 + \log_2 16$

Используем определение логарифма: $\log_a b = c$ означает, что $a^c = b$.
Вычисляем первый логарифм: $\log_6 36$. Так как $6^2 = 36$, то $\log_6 36 = 2$.
Вычисляем второй логарифм: $\log_2 16$. Так как $2^4 = 16$, то $\log_2 16 = 4$.
Складываем полученные значения: $2 + 4 = 6$.
Значение выражения не равно 0,5.

Ответ: 6

2) $\log_{27} 81 + \log_{27} 9$

Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$.
$\log_{27} 81 + \log_{27} 9 = \log_{27}(81 \cdot 9) = \log_{27} 729$.
Чтобы найти значение $\log_{27} 729$, нужно определить, в какую степень нужно возвести 27, чтобы получить 729. Так как $27^2 = 729$, то $\log_{27} 729 = 2$.
Значение выражения не равно 0,5.

Ответ: 2

3) $\log_2 24 - \log_2 6$

Используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$.
$\log_2 24 - \log_2 6 = \log_2(\frac{24}{6}) = \log_2 4$.
Так как $2^2 = 4$, то $\log_2 4 = 2$.
Значение выражения не равно 0,5.

Ответ: 2

4) $\log_{16}(\log_3 81)$

Сначала вычисляем значение внутреннего логарифма: $\log_3 81$.
Так как $3^4 = 81$, то $\log_3 81 = 4$.
Подставляем полученное значение в исходное выражение: $\log_{16} 4$.
Чтобы найти значение $\log_{16} 4$, нужно определить, в какую степень $x$ нужно возвести 16, чтобы получить 4: $16^x = 4$.
Так как $\sqrt{16} = 16^{1/2} = 4$, то $x = \frac{1}{2} = 0,5$.
Значение этого выражения равно 0,5.

Ответ: 0,5

5) $(7^{\log_7 \sqrt[5]{3}})^5$

Используем основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$.
Упрощаем выражение в скобках: $7^{\log_7 \sqrt[5]{3}} = \sqrt[5]{3}$.
Теперь возводим результат в пятую степень: $(\sqrt[5]{3})^5$.
Возведение в степень 5 и извлечение корня 5-ой степени являются взаимообратными операциями, поэтому $(\sqrt[5]{3})^5 = 3$.
Значение выражения не равно 0,5.

Ответ: 3

Таким образом, выражение, значение которого равно 0,5, находится под номером 4. Это соответствует варианту ответа г).