Номер 9, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

9. Найдите множество значений функции

$f(x) = \log_2 (x^2 + 2x + 9).$

а) $ [9; +\infty) $;

б) $ [2; +\infty) $;

в) $ (-\infty; +\infty) $;

г) $ (0; +\infty) $;

д) $ [3; +\infty) $.

Для нахождения множества значений функции $f(x) = \log_2(x^2 + 2x + 9)$, необходимо сначала найти множество значений выражения, стоящего под знаком логарифма, то есть функции $g(x) = x^2 + 2x + 9$.

Функция $g(x) = x^2 + 2x + 9$ является квадратичной, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (1 > 0). Следовательно, эта функция имеет наименьшее значение в вершине параболы.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

В нашем случае $a=1$, $b=2$.

$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$

Ордината вершины (наименьшее значение функции $g(x)$) равна значению функции в точке $x_0 = -1$:

$y_0 = g(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 9 = 1 - 2 + 9 = 8$

Таким образом, наименьшее значение подлогарифмического выражения равно 8. Так как ветви параболы уходят в бесконечность, множество значений функции $g(x)$ есть промежуток $[8; +\infty)$.

Теперь вернемся к исходной функции $f(x) = \log_2(g(x))$. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y = \log_2(t)$ является возрастающей. Это означает, что наименьшее значение функции $f(x)$ достигается при наименьшем значении ее аргумента $g(x)$.

Наименьшее значение функции $f(x)$ равно:

$f_{min} = \log_2(8) = \log_2(2^3) = 3$

Поскольку $g(x)$ может принимать сколь угодно большие значения (стремится к $+\infty$), то и $\log_2(g(x))$ будет стремиться к $+\infty$.

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это промежуток $[3; +\infty)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту д).

Ответ: д) $[3; +\infty)$.