Номер 10, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

10. Вычислите $(12+2^{1+\log_2{15}}) \cdot \log_5{\sqrt{7}} \cdot \log_7{25}.$

Для того чтобы вычислить значение выражения $(12 + 2^{1 + \log_2{15}}) \cdot \log_5{\sqrt{7}} \cdot \log_7{25}$, разобьем его на два множителя и упростим каждый из них по очереди.

Упрощение первого множителя $(12 + 2^{1 + \log_2{15}})$

Сначала рассмотрим степенное выражение $2^{1 + \log_2{15}}$. Воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$2^{1 + \log_2{15}} = 2^1 \cdot 2^{\log_2{15}}$

Теперь применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a{b}} = b$:

$2^{\log_2{15}} = 15$

Подставив это значение, получим:

$2^1 \cdot 15 = 2 \cdot 15 = 30$

Теперь можем вычислить значение всего выражения в скобках:

$12 + 30 = 42$

Упрощение второго множителя $\log_5{\sqrt{7}} \cdot \log_7{25}$

Упростим каждый логарифм в произведении. Сначала преобразуем подлогарифмические выражения:

$\sqrt{7} = 7^{1/2}$

$25 = 5^2$

Подставим их обратно в выражение и воспользуемся свойством логарифма степени $\log_a{b^k} = k \cdot \log_a{b}$:

$\log_5{\sqrt{7}} = \log_5{7^{1/2}} = \frac{1}{2}\log_5{7}$

$\log_7{25} = \log_7{5^2} = 2\log_7{5}$

Теперь перемножим полученные выражения:

$(\frac{1}{2}\log_5{7}) \cdot (2\log_7{5}) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \log_5{7} \cdot \log_7{5} = \log_5{7} \cdot \log_7{5}$

Используя свойство $\log_a{b} \cdot \log_b{a} = 1$ (которое следует из формулы перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$), получаем:

$\log_5{7} \cdot \log_7{5} = 1$

Итоговое вычисление

Теперь, когда мы нашли значения обоих множителей, мы можем их перемножить, чтобы найти значение исходного выражения:

$42 \cdot 1 = 42$

Ответ: 42