Номер 4, страница 253 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

4. Найдите значение выражения

$(\sqrt{2})^{\log_2 25} + 2^{\log_{\sqrt{2}} 13}$.

а) $\sqrt{5} + 13$;

б) 174;

в) 19;

г) 194;

д) 18.

Для того чтобы найти значение выражения $(\sqrt{2})^{\log_2 25} + 2^{\log_{\sqrt{2}} 13}$, необходимо упростить каждое слагаемое, используя свойства степеней и логарифмов.

Рассмотрим первое слагаемое: $(\sqrt{2})^{\log_2 25}$.

Представим основание степени $\sqrt{2}$ как $2^{1/2}$. Тогда выражение примет вид:$(2^{1/2})^{\log_2 25}$

Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$:$2^{\frac{1}{2} \cdot \log_2 25}$

Применим свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a(b^k)$:$2^{\log_2(25^{1/2})}$

Так как $25^{1/2} = \sqrt{25} = 5$, получаем:$2^{\log_2 5}$

Согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, значение первого слагаемого равно:$2^{\log_2 5} = 5$

Теперь рассмотрим второе слагаемое: $2^{\log_{\sqrt{2}} 13}$.

Преобразуем показатель степени $\log_{\sqrt{2}} 13$, используя формулу перехода к новому основанию логарифма $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$. Перейдем к основанию 2:$\log_{\sqrt{2}} 13 = \frac{\log_2 13}{\log_2 \sqrt{2}}$

Найдем значение знаменателя: $\log_2 \sqrt{2} = \log_2(2^{1/2}) = \frac{1}{2}$.

Тогда показатель степени равен:$\frac{\log_2 13}{1/2} = 2 \cdot \log_2 13$

Снова применим свойство $k \cdot \log_a b = \log_a(b^k)$:$2 \cdot \log_2 13 = \log_2(13^2) = \log_2 169$

Подставим полученное выражение в показатель степени второго слагаемого:$2^{\log_2 169}$

По основному логарифмическому тождеству, значение второго слагаемого равно:$2^{\log_2 169} = 169$

На последнем шаге сложим значения двух слагаемых:$5 + 169 = 174$

Ответ: 174