Номер 12, страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

12. Найдите наибольшее целое отрицательное решение неравенства

$2 \cdot 4^x - 9 \cdot 14^x + 7 \cdot 49^x > 0$.

Дано показательное неравенство:

$$2 \cdot 4^x - 9 \cdot 14^x + 7 \cdot 49^x > 0$$

Заметим, что основания степеней $4$, $14$ и $49$ можно выразить через степени чисел $2$ и $7$. А именно, $4 = 2^2$, $14 = 2 \cdot 7$ и $49 = 7^2$. Подставим эти выражения в неравенство:

$$2 \cdot (2^2)^x - 9 \cdot (2 \cdot 7)^x + 7 \cdot (7^2)^x > 0$$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$, преобразуем неравенство к виду:

$$2 \cdot (2^x)^2 - 9 \cdot 2^x \cdot 7^x + 7 \cdot (7^x)^2 > 0$$

Это однородное показательное неравенство. Так как выражение $49^x = (7^x)^2$ всегда положительно при любом действительном $x$, мы можем разделить обе части неравенства на $49^x$ без изменения знака неравенства.

$$\frac{2 \cdot (2^x)^2}{49^x} - \frac{9 \cdot 2^x \cdot 7^x}{49^x} + \frac{7 \cdot (7^x)^2}{49^x} > 0$$

$$\frac{2 \cdot (2^x)^2}{(7^x)^2} - \frac{9 \cdot 2^x \cdot 7^x}{7^x \cdot 7^x} + \frac{7 \cdot (7^x)^2}{(7^x)^2} > 0$$

$$2 \cdot \left(\frac{2^x}{7^x}\right)^2 - 9 \cdot \frac{2^x}{7^x} + 7 > 0$$

$$2 \cdot \left(\left(\frac{2}{7}\right)^x\right)^2 - 9 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^x + 7 > 0$$

Для упрощения неравенства введем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{2}{7}\right)^x$. Поскольку значение показательной функции всегда положительно, имеем ограничение $t > 0$.

С новой переменной неравенство принимает вид квадратного неравенства:

$$2t^2 - 9t + 7 > 0$$

Чтобы решить его, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2t^2 - 9t + 7 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 - 56 = 25$.

Корни уравнения:

$$t_1 = \frac{9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 5}{4} = 1$$

$$t_2 = \frac{9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 5}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$$

Графиком функции $y = 2t^2 - 9t + 7$ является парабола с ветвями вверх, так как коэффициент при $t^2$ положителен ($2 > 0$). Следовательно, неравенство $2t^2 - 9t + 7 > 0$ выполняется, когда $t$ находится за пределами интервала между корнями, то есть $t < 1$ или $t > \frac{7}{2}$.

Выполним обратную замену.

1. Рассмотрим случай $t < 1$. С учетом ограничения $t>0$, получаем $0 < t < 1$.

$$0 < \left(\frac{2}{7}\right)^x < 1$$

Так как $1 = \left(\frac{2}{7}\right)^0$, неравенство можно записать как $\left(\frac{2}{7}\right)^x < \left(\frac{2}{7}\right)^0$. Основание степени $\frac{2}{7}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому показательная функция $y = \left(\frac{2}{7}\right)^x$ является убывающей. При сравнении показателей знак неравенства меняется на противоположный: $x > 0$.

2. Рассмотрим случай $t > \frac{7}{2}$.

$$\left(\frac{2}{7}\right)^x > \frac{7}{2}$$

Так как $\frac{7}{2} = \left(\frac{2}{7}\right)^{-1}$, неравенство принимает вид $\left(\frac{2}{7}\right)^x > \left(\frac{2}{7}\right)^{-1}$. Поскольку основание степени $\frac{2}{7} < 1$, знак неравенства при переходе к показателям снова меняется: $x < -1$.

Объединяя полученные решения, получаем, что исходное неравенство справедливо для всех $x$ из объединения интервалов $(-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.

В задаче требуется найти наибольшее целое отрицательное решение. Из полученного множества решений отрицательными являются числа из интервала $(-\infty, -1)$. Целыми числами в этом интервале являются ..., -4, -3, -2. Наибольшее из них - это -2.

Ответ: -2