Номер 6, страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

6. Найдите сумму целых решений

неравенства $9^{\frac{x}{2}} - 12 \cdot 3^{\frac{x}{2}} + 27 \le 0.$

а) 2;

б) 12;

в) 6;

г) 9;

д) 3.

Для решения данного показательного неравенства $9^{\frac{x}{2}} - 12 \cdot 3^{\frac{x}{2}} + 27 \le 0$ преобразуем его к квадратному виду. Заметим, что $9^{\frac{x}{2}} = (3^2)^{\frac{x}{2}} = 3^{2 \cdot \frac{x}{2}} = (3^{\frac{x}{2}})^2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^{\frac{x}{2}}$. Поскольку показательная функция всегда принимает положительные значения, то $t > 0$. Подставив новую переменную в исходное неравенство, получим квадратное неравенство:

$t^2 - 12t + 27 \le 0$

Чтобы решить это неравенство, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 12t + 27 = 0$. Воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней: $t_1 + t_2 = 12$
• Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = 27$

Подбором находим корни $t_1 = 3$ и $t_2 = 9$.

Парабола $y = t^2 - 12t + 27$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $t^2 - 12t + 27 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решение для $t$:

$3 \le t \le 9$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, сделав обратную замену $t = 3^{\frac{x}{2}}$:

$3 \le 3^{\frac{x}{2}} \le 9$

Представим числа 3 и 9 в виде степеней с основанием 3:

$3^1 \le 3^{\frac{x}{2}} \le 3^2$

Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степени знаки неравенства сохраняются:

$1 \le \frac{x}{2} \le 2$

Умножим все части неравенства на 2, чтобы найти решение для $x$:

$2 \cdot 1 \le 2 \cdot \frac{x}{2} \le 2 \cdot 2$

$2 \le x \le 4$

Решением неравенства является отрезок $[2, 4]$. По условию задачи нужно найти сумму целых решений. Целые числа, принадлежащие этому отрезку, — это 2, 3 и 4.

Найдем их сумму:

$2 + 3 + 4 = 9$

Среди предложенных вариантов ответа это вариант г).

Ответ: 9.