Номер 3, страница 250 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3. Решите неравенство $2^x \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^x \le 1,44$.

а) $(-\infty; 2]$;

б) $[2; +\infty)$;

в) $[-2; 2]$;

г) $(-\infty; 1,5]$;

д) $[1,5; +\infty)$.

Для решения данного показательного неравенства $2^x \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^x \le 1,44$ необходимо привести обе его части к степеням с одинаковым основанием.

1. Преобразуем левую часть неравенства. Воспользуемся свойством степеней $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:
$2^x \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^x = \left(2 \cdot \frac{3}{5}\right)^x = \left(\frac{6}{5}\right)^x$.

2. Преобразуем правую часть неравенства. Переведем десятичную дробь 1,44 в обыкновенную дробь:
$1,44 = \frac{144}{100}$. Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 4:
$\frac{144}{100} = \frac{144 : 4}{100 : 4} = \frac{36}{25}$.

3. Теперь исходное неравенство можно записать в виде:
$\left(\frac{6}{5}\right)^x \le \frac{36}{25}$.

4. Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием $\frac{6}{5}$:
$\frac{36}{25} = \frac{6^2}{5^2} = \left(\frac{6}{5}\right)^2$.

5. Подставим полученное выражение в неравенство:
$\left(\frac{6}{5}\right)^x \le \left(\frac{6}{5}\right)^2$.

6. Мы получили неравенство вида $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$. Для его решения нужно сравнить основание $a$ с единицей. В нашем случае основание $a = \frac{6}{5} = 1,2$.
Так как основание степени $1,2 > 1$, то показательная функция $y = \left(\frac{6}{5}\right)^x$ является возрастающей. При переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знак неравенства сохраняется:
$x \le 2$.

7. Решением неравенства является промежуток $(-\infty; 2]$.
Среди предложенных вариантов ответа этому решению соответствует вариант а).
Ответ: $(-\infty; 2]$.