Номер 4, страница 250 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

4. Решите неравенство $0,7^{\frac{x^2 - 9}{x - 1}} < 1$.

a) $(-\infty; -3) \cup (3; +\infty);$

б) $(-\infty; -3) \cup (1; 3);$

в) $(-3; 1) \cup (3; +\infty);$

г) $(-3; 0) \cup (0; 3);$

д) $(-3; 3).

Дано показательное неравенство: $0,7^{\frac{x^2 - 9}{x - 1}} < 1$.

Для решения представим число 1 в виде степени с основанием 0,7. Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, получаем:

$1 = 0,7^0$

Подставим это в исходное неравенство:

$0,7^{\frac{x^2 - 9}{x - 1}} < 0,7^0$

Основание степени $a = 0,7$ находится в интервале $0 < a < 1$. Показательная функция с таким основанием является убывающей. Это означает, что для выполнения неравенства $a^{f(x)} < a^{g(x)}$ необходимо, чтобы выполнялось неравенство $f(x) > g(x)$. То есть, при переходе от неравенства степеней к неравенству их показателей, знак неравенства меняется на противоположный.

Получаем следующее рациональное неравенство:

$\frac{x^2 - 9}{x - 1} > 0$

Решим его методом интервалов. Сначала разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

Неравенство принимает вид:

$\frac{(x-3)(x+3)}{x-1} > 0$

Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль. Эти точки разделят числовую ось на интервалы.

Нули числителя: $x - 3 = 0 \implies x = 3$; $x + 3 = 0 \implies x = -3$.

Нуль знаменателя: $x - 1 = 0 \implies x = 1$. (Эта точка всегда будет выколотой, так как на ноль делить нельзя).

Отметим точки -3, 1, 3 на числовой оси. Так как неравенство строгое ($>0$), все точки будут выколотыми.

Определим знак выражения $\frac{(x-3)(x+3)}{x-1}$ в каждом из полученных интервалов:

• Интервал $(-\infty; -3)$: возьмем $x = -4$. $\frac{(-4-3)(-4+3)}{-4-1} = \frac{(-7)(-1)}{-5} < 0$. Знак "минус".
• Интервал $(-3; 1)$: возьмем $x = 0$. $\frac{(0-3)(0+3)}{0-1} = \frac{(-3)(3)}{-1} > 0$. Знак "плюс".
• Интервал $(1; 3)$: возьмем $x = 2$. $\frac{(2-3)(2+3)}{2-1} = \frac{(-1)(5)}{1} < 0$. Знак "минус".
• Интервал $(3; +\infty)$: возьмем $x = 4$. $\frac{(4-3)(4+3)}{4-1} = \frac{(1)(7)}{3} > 0$. Знак "плюс".

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля, то есть имеет знак "плюс". Это интервалы $(-3; 1)$ и $(3; +\infty)$.

Объединение этих интервалов и является решением неравенства: $x \in (-3; 1) \cup (3; +\infty)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту в).

Ответ: в) $(-3; 1) \cup (3; +\infty)$