Номер 2, страница 250 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Решите неравенство $3^{x^2} \le 81$.

а) $(-\infty; 2]$;

б) $[-2; 2]$;

в) $(-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$;

г) $[-4; 4]$;

д) $[0; 2]$.

Для решения показательного неравенства $3^{x^2} \le 81$ необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 3.

Представим число 81 в виде степени числа 3. Мы знаем, что $3^2 = 9$, а $9^2 = 81$, следовательно, $81 = (3^2)^2 = 3^{2 \cdot 2} = 3^4$.

Теперь исходное неравенство можно переписать в следующем виде:
$3^{x^2} \le 3^4$.

Так как основание степени $3$ больше 1, показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Это означает, что при переходе от сравнения степеней к сравнению их показателей знак неравенства сохраняется. Таким образом, мы получаем равносильное неравенство:
$x^2 \le 4$.

Это квадратичное неравенство. Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 4 \le 0$.

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x - 2)(x + 2) \le 0$.

Для решения этого неравенства применим метод интервалов. Найдем корни уравнения $(x - 2)(x + 2) = 0$. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала. Определим знак выражения на каждом из них:

• При $x < -2$ (например, $x=-3$), выражение $(x-2)(x+2)$ будет положительным: $(-5) \cdot (-1) = 5 > 0$.
• При $-2 < x < 2$ (например, $x=0$), выражение будет отрицательным: $(-2) \cdot (2) = -4 < 0$.
• При $x > 2$ (например, $x=3$), выражение будет положительным: $(1) \cdot (5) = 5 > 0$.

Нас интересует промежуток, где значение выражения $(x - 2)(x + 2)$ меньше или равно нулю. Это интервал между корнями, включая сами корни, так как неравенство нестрогое ($\le$).

Следовательно, решением неравенства является отрезок $[-2, 2]$. Сравнив этот результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту б).

Ответ: б) $[-2; 2]$