Номер 5, страница 250 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

5. Решите неравенство $3^x \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{5x-2} < \frac{1}{3}$.

а) $\left(\frac{1}{3}; +\infty\right)$;

б) $\left(-\frac{5}{9}; +\infty\right)$;

в) $\left(1,8; +\infty\right)$;

г) $\left(-\infty; \frac{5}{9}\right)$;

д) $\left(\frac{5}{9}; +\infty\right)$.

Чтобы решить данное показательное неравенство $3^x \cdot (\frac{1}{9})^{5x-2} < \frac{1}{3}$, необходимо привести все его части к одному основанию. В данном случае удобно использовать основание 3.

Представим числа $\frac{1}{9}$ и $\frac{1}{3}$ в виде степени с основанием 3:
$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$
$\frac{1}{3} = 3^{-1}$

Теперь подставим эти выражения в исходное неравенство:
$3^x \cdot (3^{-2})^{5x-2} < 3^{-1}$

Упростим левую часть неравенства, используя свойства степеней: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Сначала раскроем скобки в показателе степени:
$(3^{-2})^{5x-2} = 3^{-2 \cdot (5x-2)} = 3^{-10x+4}$
Теперь перемножим степени с одинаковым основанием:
$3^x \cdot 3^{-10x+4} = 3^{x + (-10x+4)} = 3^{x-10x+4} = 3^{-9x+4}$

Неравенство принимает вид:
$3^{-9x+4} < 3^{-1}$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что для показателей степеней знак неравенства сохраняется. Таким образом, мы можем перейти к неравенству для показателей:
$-9x+4 < -1$

Решим полученное линейное неравенство:
Перенесем 4 в правую часть:
$-9x < -1 - 4$
$-9x < -5$
Разделим обе части неравенства на -9. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \frac{-5}{-9}$
$x > \frac{5}{9}$

Решением неравенства является интервал $(\frac{5}{9}; +\infty)$. Сравнив с предложенными вариантами, видим, что это соответствует варианту ответа д).
Ответ: $(\frac{5}{9}; +\infty)$.