Номер 11, страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

11. Найдите число целых решений неравенства $7^{x+2} - 64 \cdot 8^x < 42 \cdot 7^x - 7 \cdot 8^{x+1}$ на промежутке $[-10; 5]$.

Для решения данного неравенства преобразуем его, используя свойства степеней, и сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями.

Исходное неравенство:

$$7^{x+2} - 64 \cdot 8^x < 42 \cdot 7^x - 7 \cdot 8^{x+1}$$

Используем свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ для преобразования выражений $7^{x+2}$ и $8^{x+1}$:

$7^{x+2} = 7^2 \cdot 7^x = 49 \cdot 7^x$

$8^{x+1} = 8^1 \cdot 8^x = 8 \cdot 8^x$

Подставим полученные выражения обратно в неравенство:

$$49 \cdot 7^x - 64 \cdot 8^x < 42 \cdot 7^x - 7 \cdot (8 \cdot 8^x)$$

$$49 \cdot 7^x - 64 \cdot 8^x < 42 \cdot 7^x - 56 \cdot 8^x$$

Теперь сгруппируем члены, содержащие $7^x$, в левой части, а члены, содержащие $8^x$, — в правой:

$$49 \cdot 7^x - 42 \cdot 7^x < 64 \cdot 8^x - 56 \cdot 8^x$$

Выполним вычитание коэффициентов:

$$(49 - 42) \cdot 7^x < (64 - 56) \cdot 8^x$$

$$7 \cdot 7^x < 8 \cdot 8^x$$

Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим обе части:

$$7^{x+1} < 8^{x+1}$$

Поскольку показательная функция $f(t) = t^{x+1}$ является возрастающей при $t > 0$ для фиксированного $x+1>0$ и убывающей для $x+1<0$, удобнее разделить обе части на одно из выражений. Разделим неравенство на $8^{x+1}$, которое всегда положительно, поэтому знак неравенства не изменится:

$$\frac{7^{x+1}}{8^{x+1}} < 1$$

$$\left(\frac{7}{8}\right)^{x+1} < 1$$

Представим число 1 в виде степени с основанием $\frac{7}{8}$:

$$\left(\frac{7}{8}\right)^{x+1} < \left(\frac{7}{8}\right)^0$$

Так как основание степени $0 < \frac{7}{8} < 1$, показательная функция $y = \left(\frac{7}{8}\right)^t$ является убывающей. Это означает, что для выполнения неравенства показатели степеней должны находиться в обратном отношении, то есть знак неравенства нужно изменить на противоположный:

$$x+1 > 0$$

$$x > -1$$

Мы нашли общее решение неравенства: $x \in (-1; +\infty)$.

Теперь необходимо найти количество целых решений на заданном промежутке $[-10; 5]$. Для этого найдем пересечение множества решений неравенства с данным промежутком:

$$x \in (-1; +\infty) \cap [-10; 5]$$

Это соответствует двойному неравенству $-1 < x \le 5$.

Выпишем все целые числа, удовлетворяющие этому условию:

0, 1, 2, 3, 4, 5.

Подсчитаем количество этих чисел. Всего их 6.

Ответ: 6