Номер 14, страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

14. Найдите наименьшее целое решение неравенства $ \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{8+x} - 81}{x^2 + 2x + 5} < 0 $.

Для решения неравенства $ \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{8+x} - 81}{x^2 + 2x + 5} < 0 $ проанализируем знак числителя и знаменателя.

Рассмотрим знаменатель $x^2 + 2x + 5$. Это квадратный трехчлен. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$.

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), а старший коэффициент положителен ($a=1 > 0$), знаменатель $x^2 + 2x + 5$ всегда положителен при любом значении $x$.

Также можно выделить полный квадрат: $x^2 + 2x + 5 = (x^2 + 2x + 1) + 4 = (x+1)^2 + 4$. Так как $(x+1)^2 \ge 0$, то наименьшее значение знаменателя равно 4, что подтверждает его положительность.

Поскольку знаменатель всегда положителен, знак всей дроби определяется знаком числителя. Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему:

$$ \left(\frac{1}{3}\right)^{8+x} - 81 < 0 $$

Решим это показательное неравенство:

$$ \left(\frac{1}{3}\right)^{8+x} < 81 $$

Представим число 81 как степень с основанием $\frac{1}{3}$:

$$ 81 = 3^4 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-4} $$

Подставим это в неравенство:

$$ \left(\frac{1}{3}\right)^{8+x} < \left(\frac{1}{3}\right)^{-4} $$

Так как основание степени $\frac{1}{3}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция является убывающей. Это значит, что при сравнении показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$$ 8 + x > -4 $$

Решаем полученное линейное неравенство:

$$ x > -4 - 8 $$

$$ x > -12 $$

Решением неравенства является множество всех чисел из интервала $(-12; +\infty)$.

По условию задачи требуется найти наименьшее целое решение. Наименьшим целым числом, большим -12, является -11.

Ответ: -11.