Номер 5, страница 253 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

5. Найдите значение выражения $log_{625}^2 \sqrt[3]{5}$.

а) $ \frac{1}{144} $;

б) $ \frac{9}{16} $;

в) $ \frac{1}{48} $;

г) $ \frac{1}{36} $;

д) $ \frac{1}{12} $.

Выражение $\log_{625}^2 \sqrt[3]{5}$ представляет собой квадрат логарифма, то есть $(\log_{625} \sqrt[3]{5})^2$. Чтобы найти его значение, необходимо сначала вычислить логарифм $\log_{625} \sqrt[3]{5}$, а затем возвести результат в квадрат.

Преобразование основания и аргумента логарифма

Для упрощения вычислений приведем основание логарифма $625$ и его аргумент $\sqrt[3]{5}$ к одному основанию — числу $5$.

Основание: $625 = 25^2 = (5^2)^2 = 5^4$.

Аргумент: $\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}$.

Подставив эти значения, получаем логарифм вида: $\log_{5^4} 5^{\frac{1}{3}}$.

Вычисление логарифма

Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$.

В нашем случае $a=5$, $n=4$ и $m=\frac{1}{3}$. Применяя свойство, получаем:

$\log_{5^4} 5^{\frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{4} \log_5 5$.

Так как логарифм числа по тому же основанию равен единице, то есть $\log_5 5 = 1$.

Следовательно, значение логарифма равно:

$\frac{\frac{1}{3}}{4} \cdot 1 = \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}$.

Итак, мы нашли, что $\log_{625} \sqrt[3]{5} = \frac{1}{12}$.

Нахождение значения исходного выражения

Теперь необходимо возвести полученное значение в квадрат, как того требует исходное выражение:

$(\log_{625} \sqrt[3]{5})^2 = \left(\frac{1}{12}\right)^2 = \frac{1^2}{12^2} = \frac{1}{144}$.

Ответ: $\frac{1}{144}$.