Номер 11, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

11. Вычислите

$((25-\log_2^2 5) \cdot \log_{160} 2 + \log_2 5) \cdot 7^{\log_7 6}$.

Для вычисления значения выражения $((25 - \log_2^2 5) \cdot \log_{160} 2 + \log_2 5) \cdot 7^{\log_7 6}$ решим его по действиям.

1. Упрощение последнего множителя

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$. Для множителя $7^{\log_7 6}$ получаем:

$7^{\log_7 6} = 6$.

Таким образом, исходное выражение принимает вид:

$((25 - \log_2^2 5) \cdot \log_{160} 2 + \log_2 5) \cdot 6$.

2. Преобразование выражения в скобках

Рассмотрим выражение, находящееся в больших скобках: $(25 - \log_2^2 5) \cdot \log_{160} 2 + \log_2 5$.

Сначала преобразуем логарифм $\log_{160} 2$ с помощью формулы перехода к другому основанию, а именно $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$:

$\log_{160} 2 = \frac{1}{\log_2 160}$.

Теперь упростим знаменатель $\log_2 160$. Для этого разложим число 160 на простые множители: $160 = 16 \cdot 10 = 2^4 \cdot 2 \cdot 5 = 2^5 \cdot 5$.

Применим свойство логарифма произведения $\log_c(xy) = \log_c x + \log_c y$ и свойство логарифма степени $\log_c(x^p) = p \cdot \log_c x$:

$\log_2 160 = \log_2(2^5 \cdot 5) = \log_2(2^5) + \log_2 5 = 5 \log_2 2 + \log_2 5 = 5 \cdot 1 + \log_2 5 = 5 + \log_2 5$.

Следовательно, мы получили, что $\log_{160} 2 = \frac{1}{5 + \log_2 5}$.

Подставим это обратно в выражение в скобках:

$(25 - \log_2^2 5) \cdot \frac{1}{5 + \log_2 5} + \log_2 5$.

Заметим, что выражение $25 - \log_2^2 5$ представляет собой разность квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=5$ и $b=\log_2 5$:

$25 - \log_2^2 5 = (5 - \log_2 5)(5 + \log_2 5)$.

Теперь наше выражение выглядит так:

$\frac{(5 - \log_2 5)(5 + \log_2 5)}{5 + \log_2 5} + \log_2 5$.

Сократим дробь на общий множитель $(5 + \log_2 5)$:

$(5 - \log_2 5) + \log_2 5$.

Приводя подобные слагаемые, получаем:

$5 - \log_2 5 + \log_2 5 = 5$.

3. Вычисление окончательного значения

Мы выяснили, что все выражение в скобках равно 5. Теперь умножим этот результат на значение, полученное в первом шаге:

$5 \cdot 6 = 30$.

Ответ: 30