Номер 3, страница 255 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3. Решите уравнение $\frac{\log_4(x^2 - 3)}{x - 2} = 0$.

а) $-2$; $2$;

б) $-2$;

в) $-\sqrt{3}$; $\sqrt{3}$;

г) $4$;

д) $-\sqrt{7}$; $\sqrt{7}$.

Данное уравнение является дробным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Кроме того, необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмической функции.

Запишем эти условия в виде системы:

$ \begin{cases} \log_4(x^2 - 3) = 0 \\ x - 2 \neq 0 \\ x^2 - 3 > 0 \end{cases} $

1. Решим первое уравнение системы, приравняв числитель к нулю:

$ \log_4(x^2 - 3) = 0 $

По определению логарифма ($ \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b $), получаем:

$ x^2 - 3 = 4^0 $

$ x^2 - 3 = 1 $

$ x^2 = 4 $

Корнями этого уравнения являются $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = -2 $.

2. Проверим второе условие системы, согласно которому знаменатель не может быть равен нулю:

$ x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2 $

Это условие исключает корень $ x_1 = 2 $. Таким образом, единственным возможным решением остается $ x = -2 $.

3. Проверим, удовлетворяет ли оставшийся корень $ x = -2 $ третьему условию — области допустимых значений логарифма:

$ x^2 - 3 > 0 $

Подставим значение $ x = -2 $ в неравенство:

$ (-2)^2 - 3 > 0 $

$ 4 - 3 > 0 $

$ 1 > 0 $

Неравенство является верным, следовательно, корень $ x = -2 $ принадлежит ОДЗ.

Таким образом, все условия системы выполняются только для одного значения $ x $.

Ответ: -2