Номер 4, страница 255 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

4. Найдите сумму корней (корень, если он единственный) уравнения

$\log_3(x^3 + x^2 - 4x + 2) = \log_3(x^3 - 1).$

а) 1;

б) -4;

в) -3;

г) 4;

д) 3.

Исходное уравнение:

$log_3(x^3 + x^2 - 4x + 2) = log_3(x^3 - 1)$

Данное логарифмическое уравнение эквивалентно системе, в которой аргументы логарифмов равны, и при этом они должны быть положительными (область допустимых значений, ОДЗ):

$ \begin{cases} x^3 + x^2 - 4x + 2 = x^3 - 1 \\ x^3 - 1 > 0 \end{cases} $

Достаточно проверить только одно из неравенств ($x^3 - 1 > 0$ или $x^3 + x^2 - 4x + 2 > 0$), так как из равенства $x^3 + x^2 - 4x + 2 = x^3 - 1$ следует, что если одно из выражений положительно, то и другое тоже будет положительным. Выберем более простое неравенство для определения ОДЗ.

1. Решим первое уравнение системы:

$x^3 + x^2 - 4x + 2 = x^3 - 1$

Сократим $x^3$ в обеих частях уравнения:

$x^2 - 4x + 2 = -1$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 4x + 2 + 1 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Либо можно найти корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$

$x_1 = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, мы получили два потенциальных корня: 1 и 3.

2. Теперь проверим эти корни на соответствие ОДЗ из второго условия системы:

$x^3 - 1 > 0$

$x^3 > 1$

$x > 1$

Проверим каждый из найденных корней:

• Для корня $x_1 = 1$: неравенство $1 > 1$ является ложным. Следовательно, $x=1$ не является корнем исходного уравнения (посторонний корень).
• Для корня $x_2 = 3$: неравенство $3 > 1$ является истинным. Следовательно, $x=3$ является корнем исходного уравнения.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень $x = 3$.

По условию задачи нужно найти сумму корней (или корень, если он единственный).

Сумма корней в данном случае равна единственному корню.

Ответ: 3