Номер 6, страница 256 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

6. Решите уравнение $7^{\lg x} = 98 - x^{\lg 7}$.

а) 49;

б) 1000;

в) 7;

г) 10;

д) 100.

Дано уравнение: $7^{\lg x} = 98 - x^{\lg 7}$.

В первую очередь определим Область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку в уравнении присутствует десятичный логарифм $\lg x$, его аргумент должен быть строго больше нуля: $x > 0$.

Для решения уравнения воспользуемся одним из основных свойств логарифмов: $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$. В данном уравнении $\lg$ обозначает логарифм по основанию 10.

Применим это свойство к члену $x^{\lg 7}$:
$x^{\lg 7} = x^{\log_{10} 7} = 7^{\log_{10} x} = 7^{\lg x}$.

Теперь мы видим, что выражения $7^{\lg x}$ и $x^{\lg 7}$ тождественны. Подставим $7^{\lg x}$ вместо $x^{\lg 7}$ в исходное уравнение:
$7^{\lg x} = 98 - 7^{\lg x}$.

Перенесём все члены с переменной в левую часть уравнения:
$7^{\lg x} + 7^{\lg x} = 98$.

Сложим одинаковые члены:
$2 \cdot 7^{\lg x} = 98$.

Разделим обе части уравнения на 2:
$7^{\lg x} = \frac{98}{2}$
$7^{\lg x} = 49$.

Чтобы решить это показательное уравнение, представим число 49 как степень с основанием 7:
$49 = 7^2$.

Теперь уравнение примет вид:
$7^{\lg x} = 7^2$.

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$\lg x = 2$.

По определению десятичного логарифма, если $\log_{10} x = 2$, то:
$x = 10^2$
$x = 100$.

Полученное значение $x = 100$ удовлетворяет ОДЗ ($100 > 0$), следовательно, является корнем уравнения.

Ответ: 100.