Номер 11, страница 257 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

11. Найдите произведение наибольшего корня уравнения $x^{2\lg^3 x - 1,5\lg x} = \sqrt{10}$ и числа его корней.

Исходное уравнение:$x^{2\lg^3 x - 1,5\lg x} = \sqrt{10}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку в уравнении присутствует логарифм $\lg x$, его аргумент должен быть строго положительным:$x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:$\lg(x^{2\lg^3 x - 1,5\lg x}) = \lg(\sqrt{10})$

Используем свойство логарифма $\lg(a^b) = b \cdot \lg a$:$(2\lg^3 x - 1,5\lg x) \cdot \lg x = \lg(10^{1/2})$

Упростим правую часть: $\lg(10^{1/2}) = \frac{1}{2} \lg 10 = \frac{1}{2}$. Теперь уравнение выглядит так:$(2\lg^3 x - 1,5\lg x) \cdot \lg x = \frac{1}{2}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Подставим $t$ в уравнение:$(2t^3 - 1,5t) \cdot t = \frac{1}{2}$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:$2t^4 - 1,5t^2 = \frac{1}{2}$Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:$4t^4 - 3t^2 = 1$$4t^4 - 3t^2 - 1 = 0$

Получили биквадратное уравнение. Сделаем еще одну замену: пусть $y = t^2$. Поскольку $t^2$ не может быть отрицательным, $y \ge 0$.$4y^2 - 3y - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 + 5}{8} = \frac{8}{8} = 1$$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 - 5}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$

Проверим найденные значения $y$ на соответствие условию $y \ge 0$.$y_1 = 1$ удовлетворяет условию.$y_2 = -1/4$ не удовлетворяет условию, поэтому это посторонний корень.

Вернемся к замене $y = t^2$. У нас есть одно решение:$t^2 = 1$Отсюда получаем два значения для $t$:$t_1 = 1$$t_2 = -1$

Теперь вернемся к замене $t = \lg x$:1) $\lg x = 1 \implies x_1 = 10^1 = 10$2) $\lg x = -1 \implies x_2 = 10^{-1} = 0,1$

Оба корня ($10$ и $0,1$) удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$). Таким образом, уравнение имеет два корня.

Наибольший корень уравнения - это $x_{max} = 10$. Число корней уравнения - 2.

По условию задачи, нужно найти произведение наибольшего корня на число корней:$10 \cdot 2 = 20$

Ответ: 20