Номер 8, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

8. Выразите через $a$ значение выражения $log_{49}28$, если известно, что $log_72=a$.

а) $a + 2$;

б) $2a + 1$;

в) $\frac{a + 1}{2}$;

г) $\frac{a + 1}{a}$;

д) $\frac{2a + 1}{2}$.

Для решения задачи необходимо выразить $\log_{49}28$ через $a$, зная, что $\log_7 2 = a$. Для этого мы преобразуем исходное выражение, используя свойства логарифмов.

Сначала приведем логарифм к основанию 7, так как известное нам значение $a$ дано для логарифма с основанием 7. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $\log_b x = \frac{\log_c x}{\log_c b}$.

$\log_{49}28 = \frac{\log_7 28}{\log_7 49}$

Теперь преобразуем числитель и знаменатель по отдельности.

1. Преобразование числителя:

Используем свойство логарифма произведения $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$.
$\log_7 28 = \log_7(4 \times 7) = \log_7 4 + \log_7 7$

Далее используем свойство логарифма степени $\log_b(x^k) = k\log_b x$ и определение логарифма $\log_b b = 1$.
$\log_7 4 = \log_7(2^2) = 2\log_7 2$
$\log_7 7 = 1$

Подставляем эти значения обратно и используем условие $\log_7 2 = a$:
$\log_7 28 = 2\log_7 2 + 1 = 2a + 1$

2. Преобразование знаменателя:

Представим 49 как степень 7: $49 = 7^2$.
$\log_7 49 = \log_7(7^2)$

По свойству логарифма степени:
$\log_7(7^2) = 2\log_7 7 = 2 \times 1 = 2$

3. Конечное выражение:

Теперь подставим найденные значения числителя и знаменателя в исходную дробь:
$\log_{49}28 = \frac{\log_7 28}{\log_7 49} = \frac{2a + 1}{2}$

Полученное выражение соответствует варианту ответа д).

Ответ: $\frac{2a+1}{2}$