Номер 6, страница 253 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

6. Упростите выражение $2\log_5(-a) + \log_5 a^2$.

а) $2\log_5(-a) + 2\log_5 a;$

б) $\log_5(-a);$

в) $0;$

г) $1;$

д) $4\log_5(-a).$

Для упрощения данного логарифмического выражения необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).Выражение $2\log_{5}(-a) + \log_{5}a^2$ имеет смысл только тогда, когда аргументы обоих логарифмов строго положительны.

• Для первого слагаемого $\log_{5}(-a)$ должно выполняться условие: $-a > 0$, что эквивалентно $a < 0$.
• Для второго слагаемого $\log_{5}a^2$ должно выполняться условие: $a^2 > 0$, что означает $a \neq 0$.

Объединяя оба условия, мы получаем, что область допустимых значений для переменной $a$ — это $a < 0$.

2. Преобразование выражения.Используем свойства логарифмов для упрощения.

Рассмотрим второе слагаемое $\log_{5}a^2$. Воспользуемся свойством логарифма от степени с четным показателем: $\log_b(x^{2n}) = 2n \cdot \log_b|x|$. В нашем случае $2n=2$, поэтому:$\log_{5}a^2 = 2\log_{5}|a|$.

Так как из ОДЗ мы знаем, что $a < 0$, то модуль от $a$ раскрывается следующим образом: $|a| = -a$.

Подставим это в наше преобразование:$\log_{5}a^2 = 2\log_{5}(-a)$.

Теперь заменим $\log_{5}a^2$ в исходном выражении на полученный результат:$2\log_{5}(-a) + \log_{5}a^2 = 2\log_{5}(-a) + 2\log_{5}(-a)$.

3. Конечное упрощение.Сложим подобные слагаемые:$2\log_{5}(-a) + 2\log_{5}(-a) = 4\log_{5}(-a)$.

Сравнивая результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом д).

Ответ: д) $4\log_{5}(-a)$.