Номер 12, страница 249 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

12. Найдите значение выражения $2^m$, где $m$ — модуль разности корней

уравнения $8 \cdot 2^{|x|} + 7 \cdot 2^x = 30$.

Для решения задачи сначала найдем корни уравнения $8 \cdot 2^{|x|} + 7 \cdot 2^x = 30$. Так как уравнение содержит переменную под знаком модуля, рассмотрим два случая.

1. Случай $x \ge 0$

Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$8 \cdot 2^x + 7 \cdot 2^x = 30$

$(8+7) \cdot 2^x = 30$

$15 \cdot 2^x = 30$

$2^x = \frac{30}{15}$

$2^x = 2$

Отсюда получаем первый корень $x_1 = 1$. Это решение удовлетворяет условию $x \ge 0$.

2. Случай $x < 0$

Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$8 \cdot 2^{-x} + 7 \cdot 2^x = 30$

Сделаем замену $t = 2^x$. Так как $x < 0$, то $0 < 2^x < 2^0$, следовательно $0 < t < 1$. Учитывая, что $2^{-x} = \frac{1}{2^x} = \frac{1}{t}$, перепишем уравнение через $t$:

$\frac{8}{t} + 7t = 30$

Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$):

$8 + 7t^2 = 30t$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$7t^2 - 30t + 8 = 0$

Решим его, найдя дискриминант:

$D = (-30)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 8 = 900 - 224 = 676 = 26^2$

Корни уравнения для $t$:

$t = \frac{30 \pm \sqrt{676}}{14} = \frac{30 \pm 26}{14}$

Получаем два значения:

$t_1 = \frac{30 + 26}{14} = \frac{56}{14} = 4$

$t_2 = \frac{30 - 26}{14} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$

Сравним корни с условием $0 < t < 1$. Корень $t_1 = 4$ не подходит. Корень $t_2 = \frac{2}{7}$ подходит.

Сделаем обратную замену:

$2^x = \frac{2}{7}$

Отсюда второй корень уравнения $x_2 = \log_2\left(\frac{2}{7}\right)$. Это решение удовлетворяет условию $x < 0$.

3. Вычисление значения выражения

Корни исходного уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = \log_2\left(\frac{2}{7}\right)$.

По условию, $m$ — это модуль разности корней:

$m = |x_1 - x_2| = \left|1 - \log_2\left(\frac{2}{7}\right)\right|$

Используя свойства логарифмов, преобразуем выражение под модулем:

$m = \left|\log_2(2) - (\log_2(2) - \log_2(7))\right|$

$m = \left|\log_2(2) - \log_2(2) + \log_2(7)\right|$

$m = |\log_2(7)|$

Так как $7 > 1$, то $\log_2(7) > 0$, следовательно $m = \log_2(7)$.

Теперь найдем значение искомого выражения $2^m$:

$2^m = 2^{\log_2(7)}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ имеем:

$2^{\log_2(7)} = 7$

Ответ: 7