Номер 5, страница 248 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

5. Решите уравнение $(0,125)^{-x} = \frac{1}{\sqrt[5]{8^{2x-1}}}$.

а) $\frac{1}{3}$;

б) $-\frac{1}{2}$;

в) $7$;

г) $-\frac{1}{7}$;

д) $\frac{1}{7}$.

Для решения данного показательного уравнения необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае удобно использовать основание 2.

1. Преобразование левой части уравнения.
Представим десятичную дробь 0,125 в виде обыкновенной дроби, а затем в виде степени с основанием 2:
$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$
Теперь подставим это выражение в левую часть уравнения:
$(0,125)^{-x} = (2^{-3})^{-x}$
Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$(2^{-3})^{-x} = 2^{(-3) \cdot (-x)} = 2^{3x}$

2. Преобразование правой части уравнения.
Число 8 также представим как степень с основанием 2: $8 = 2^3$.
Подставим это в правую часть:
$\frac{1}{\sqrt[5]{8^{2x-1}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{(2^3)^{2x-1}}}$
Упростим выражение под корнем, снова используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(2^3)^{2x-1} = 2^{3 \cdot (2x-1)} = 2^{6x-3}$
Теперь знаменатель имеет вид $\sqrt[5]{2^{6x-3}}$. Представим корень в виде степени с дробным показателем, используя свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:
$\sqrt[5]{2^{6x-3}} = (2^{6x-3})^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{6x-3}{5}}$
Таким образом, вся правая часть уравнения равна $\frac{1}{2^{\frac{6x-3}{5}}}$. Используя свойство отрицательной степени $\frac{1}{a^p} = a^{-p}$, получаем:
$2^{-\frac{6x-3}{5}}$

3. Решение уравнения.
Теперь, когда обе части уравнения приведены к одному основанию, мы можем приравнять их показатели:
$2^{3x} = 2^{-\frac{6x-3}{5}}$
$3x = -\frac{6x-3}{5}$
Для решения этого линейного уравнения умножим обе части на 5:
$5 \cdot 3x = -(6x-3)$
$15x = -6x + 3$
Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения:
$15x + 6x = 3$
$21x = 3$
Найдем $x$:
$x = \frac{3}{21}$
Сократим полученную дробь:
$x = \frac{1}{7}$

Полученный корень $x = \frac{1}{7}$ соответствует варианту ответа д).

Ответ: д) $\frac{1}{7}$.