Номер 1, страница 247 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Выберите прямую, которую не пересекает график функции $y = a^x (a > 0, a \neq 1)$.

а) $x = -3$;

б) $x = \frac{1}{3}$;

в) $y = 0,36$;

г) $y = -3$;

д) $y = 100.

Для ответа на этот вопрос необходимо проанализировать свойства показательной функции $y = a^x$ при условиях $a > 0$ и $a \neq 1$.

Ключевым свойством для данной задачи является область значений этой функции. Поскольку основание $a$ — это положительное число, то при возведении его в любую действительную степень $x$ результат $y$ также всегда будет положительным числом. Математически это записывается так: область значений функции $E(y) = (0; +\infty)$.

Это означает, что график функции $y = a^x$ полностью расположен в верхней полуплоскости, то есть над осью абсцисс $Ox$. Следовательно, значение $y$ никогда не может быть равным нулю или отрицательным. График функции не может пересекать прямые, на которых ордината $y$ неположительна ($y \le 0$).

Теперь рассмотрим каждый из предложенных вариантов:

а) $x = -3$
Это вертикальная прямая. Область определения показательной функции — все действительные числа ($x \in (-\infty; +\infty)$), поэтому для любого значения $x$, включая $x=-3$, существует соответствующее значение $y=a^{-3}$. Следовательно, график пересекает эту прямую.

б) $x = \frac{1}{3}$
Это также вертикальная прямая. Как и в предыдущем случае, для $x = \frac{1}{3}$ существует значение $y = a^{1/3}$. График пересекает эту прямую.

в) $y = 0,36$
Это горизонтальная прямая. Так как $0,36 > 0$, это значение входит в область значений функции $y=a^x$. Это означает, что существует такое значение $x$ (а именно $x = \log_a(0,36)$), при котором $y=0,36$. График пересекает эту прямую.

г) $y = -3$
Это горизонтальная прямая. Значение $y = -3$ является отрицательным. Как мы установили ранее, область значений показательной функции — только положительные числа ($y > 0$). Следовательно, уравнение $a^x = -3$ не имеет решений. Это значит, что график функции не пересекает прямую $y = -3$.

д) $y = 100$
Это горизонтальная прямая. Так как $100 > 0$, это значение входит в область значений функции. Следовательно, график пересекает эту прямую.

Таким образом, единственная прямая из предложенных, которую не пересекает график функции $y = a^x$, это $y = -3$.

Ответ: г)