Номер 9, страница 247 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

9. Найдите число корней уравнения

$5\cos^2x - 3\sin^2x - \sin2x = 2$

на промежутке $[-1,5\pi; 2\pi]$.

a) 8;

б) 9;

в) 7;

г) 6;

д) 10.

Для решения данного уравнения необходимо сначала найти его общие решения, а затем отобрать те из них, которые принадлежат указанному промежутку.

1. Решение тригонометрического уравнения

Исходное уравнение: $5cos^2x - 3sin^2x - sin2x = 2$.

Это уравнение можно привести к однородному тригонометрическому уравнению второй степени. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2x + cos^2x = 1$, представив правую часть в виде $2 = 2 \cdot 1 = 2(sin^2x + cos^2x)$. Также применим формулу синуса двойного угла $sin2x = 2sinxcosx$.

$5cos^2x - 3sin^2x - 2sinxcosx = 2(sin^2x + cos^2x)$

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:

$5cos^2x - 3sin^2x - 2sinxcosx - 2sin^2x - 2cos^2x = 0$

Приведем подобные члены:

$3cos^2x - 2sinxcosx - 5sin^2x = 0$

Мы получили однородное уравнение. Проверим, является ли $cosx = 0$ решением. Если $cosx = 0$, то $sin^2x = 1$. Подстановка в уравнение дает $3 \cdot 0 - 2 \cdot (\pm 1) \cdot 0 - 5 \cdot 1 = -5$, что не равно нулю. Следовательно, $cosx \ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $cos^2x$:

$\frac{3cos^2x}{cos^2x} - \frac{2sinxcosx}{cos^2x} - \frac{5sin^2x}{cos^2x} = 0$

$3 - 2tanx - 5tan^2x = 0$

Умножим на -1 и запишем в виде стандартного квадратного уравнения относительно $tanx$:

$5tan^2x + 2tanx - 3 = 0$

Сделаем замену $t = tanx$ и решим квадратное уравнение $5t^2 + 2t - 3 = 0$:

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(5)(-3) = 4 + 60 = 64$.

Найдем корни для $t$: $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{-2 \pm 8}{10}$.

$t_1 = \frac{-2 + 8}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$t_2 = \frac{-2 - 8}{10} = \frac{-10}{10} = -1$

Теперь вернемся к переменной $x$, получив две серии решений:

1) $tanx = \frac{3}{5} \implies x = arctan(\frac{3}{5}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $tanx = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Отбор корней на промежутке $[-1,5\pi; 2\pi]$

Промежуток для отбора корней: $[-\frac{3\pi}{2}; 2\pi]$.

Для первой серии решений $x = arctan(\frac{3}{5}) + \pi n$, учитывая, что $0 < arctan(\frac{3}{5}) < \frac{\pi}{2}$, найдем подходящие целые значения $n$:

- при $n = -1$, $x = arctan(\frac{3}{5}) - \pi$. Этот корень находится в интервале $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$, что принадлежит заданному промежутку $[-\frac{3\pi}{2}; 2\pi]$.

- при $n = 0$, $x = arctan(\frac{3}{5})$. Этот корень находится в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, что принадлежит заданному промежутку.

- при $n = 1$, $x = arctan(\frac{3}{5}) + \pi$. Этот корень находится в интервале $(\pi, \frac{3\pi}{2})$, что принадлежит заданному промежутку.

При $n=2$ корень $x = arctan(\frac{3}{5}) + 2\pi$ будет больше $2\pi$, а при $n=-2$ корень будет меньше $-\frac{3\pi}{2}$. Таким образом, из этой серии получаем 3 корня.

Для второй серии решений $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$ найдем подходящие целые значения $k$:

- при $k = -1$, $x = -\frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{5\pi}{4} = -1,25\pi$. Так как $-1,5\pi \le -1,25\pi$, корень принадлежит промежутку.

- при $k = 0$, $x = -\frac{\pi}{4}$. Корень принадлежит промежутку.

- при $k = 1$, $x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$. Корень принадлежит промежутку.

- при $k = 2$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} = 1,75\pi$. Корень принадлежит промежутку.

При $k=3$ корень будет больше $2\pi$, а при $k=-2$ корень будет меньше $-\frac{3\pi}{2}$. Таким образом, из этой серии получаем 4 корня.

Общее число корней уравнения на заданном промежутке равно сумме корней из двух серий: $3 + 4 = 7$.

Ответ: 7