Номер 3, страница 246 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3. Найдите сумму корней уравнения $ \sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = -1 $, принадлежащих промежутку $ (-\pi; 4\pi) $.

а) $3,5\pi$;

б) $2\pi$;

в) $3\pi$;

г) $7\pi$;

д) $2,5\pi$.

Чтобы найти сумму корней уравнения, принадлежащих заданному промежутку, необходимо сначала найти общее решение уравнения, а затем отобрать из него те корни, которые попадают в указанный интервал.

1. Находим общее решение уравнения

Исходное уравнение:

$$ \sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = -1 $$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Уравнение вида $\sin(t) = -1$ имеет следующее решение:

$$ t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad \text{где } n \in \mathbb{Z} \text{ (целое число)} $$

В нашем случае аргумент синуса $t = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}$. Подставим его в формулу общего решения:

$$ \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $$

Теперь выразим $x$. Сначала перенесем $-\frac{\pi}{4}$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$$ \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n $$

Приведем дроби с $\pi$ к общему знаменателю 4:

$$ \frac{x}{2} = -\frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n $$

$$ \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n $$

Наконец, умножим обе части уравнения на 2, чтобы получить $x$:

$$ x = 2 \left(-\frac{\pi}{4} + 2\pi n\right) $$

$$ x = -\frac{\pi}{2} + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Это и есть общее решение исходного уравнения.

2. Отбираем корни, принадлежащие промежутку $(-\pi; 4\pi)$

Нам нужно найти все целые значения $n$, при которых корень $x$ будет удовлетворять неравенству:

$$ -\pi < x < 4\pi $$

Подставим в неравенство выражение для $x$:

$$ -\pi < -\frac{\pi}{2} + 4\pi n < 4\pi $$

Чтобы найти $n$, сначала прибавим $\frac{\pi}{2}$ ко всем трем частям двойного неравенства:

$$ -\pi + \frac{\pi}{2} < 4\pi n < 4\pi + \frac{\pi}{2} $$

$$ -\frac{\pi}{2} < 4\pi n < \frac{9\pi}{2} $$

Теперь разделим все части неравенства на $4\pi$. Так как $4\pi$ — положительное число, знаки неравенства не изменятся:

$$ \frac{-\frac{\pi}{2}}{4\pi} < n < \frac{\frac{9\pi}{2}}{4\pi} $$

$$ -\frac{1}{8} < n < \frac{9}{8} $$

Переводя в десятичные дроби, получаем: $-0.125 < n < 1.125$.

Единственные целые числа $n$, которые находятся в этом интервале, это $n=0$ и $n=1$.

3. Вычисляем сумму найденных корней

Найдем значения $x$ для каждого подходящего $n$:

При $n=0$:

$$ x_1 = -\frac{\pi}{2} + 4\pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{2} $$

При $n=1$:

$$ x_2 = -\frac{\pi}{2} + 4\pi \cdot 1 = -\frac{\pi}{2} + \frac{8\pi}{2} = \frac{7\pi}{2} $$

Оба корня, $-\frac{\pi}{2}$ и $\frac{7\pi}{2}$ (т.е. $3.5\pi$), действительно принадлежат промежутку $(-\pi; 4\pi)$.

Найдем их сумму:

$$ \text{Сумма} = x_1 + x_2 = -\frac{\pi}{2} + \frac{7\pi}{2} = \frac{- \pi + 7\pi}{2} = \frac{6\pi}{2} = 3\pi $$

Сумма корней уравнения на заданном промежутке равна $3\pi$, что соответствует варианту ответа в).

Ответ: $3\pi$